7)Теорема о единственности предела числовой последовательности.

Если числовая послед-ть сходится, то она сходится к единственному пределу.

Док-во: методом от противного. Предпол., что числ. послед-ть сходится к двум различным пределам. Пусть Ǝ_n=а  (ε>0)(ƎN₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_n-a|<ε (1)

и пусть _n=а`  (ε>0)(ƎN<sub>2</sub>(ε)ϵN)( (nϵN, n> N<sub>2</sub>(ε)):|x<sub>n</sub>-a`|<ε (2) , причем a≠a`. Т.к. в определении предела ε любое, то выберем его таким, чтобы ε-окр-ти чисел a и a` не пересекались.

Выберем N(ε) равное максимальному { N₁(ε), N₂(ε)}. Тогда при любых n> N(ε)определения (1) и (2) выполняются одновременно.

Геометрический смысл определения: начиная с некоторого номера все элементы лежат в ε-окр-ти этой точки. След-но при n>N(ε) все элементы послед-ти лежат в ε-окр-ти точки а и ε-окр-ти точки а`, что является невозможным => a=a`, т.е. послед-ть сходится к единственному пределу.

Опред.: числ. послед-ть назыв. ограниченной, если мн-во значений ее ограниченно, т.е. (ƎmϵR)(ƎMϵR)( nϵN):m≤x≤M/ или определение огранич-ой послед-ти можно записать так: (ƎM>0)( nϵN):|x_n|≤M.

________________________________________________________________________

8)Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности.

Если числ. послед-ть сходится, то она ограничена.

Док-во: Пусть x_n сходится, т.е. _n=а  (ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)):|x_n-a|<ε. Выберем число M~=max{ε, |x₁-a|, |x₂-a| ,…, |x_n-a|}ю тогда при nϵN будет выполнятся неравенство |x_n-a|≤M~ => -M~≤ x_n-a≤M~ или a-M~≤x_n≤a+M~ (a-M~=m, a+M~=M)

(Ǝm=a-M~)(ƎM=a+M~)(nϵN):m≤x_n≤M. это означает, что числ. послед-ть ограничена.

________________________________________________________________________

9)Арифметические действия над числовыми последовательностями

Если x_n и y_n-сходящиеся числ. послед-ти, т.е. _n=x, _n=y, то:

1) _n ± y_n) = _n ± _n= x ± y

Док-во: докажем, что _n + y_n) = x + y

Т.к. x_n→x  (ε>0)(ƎN₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_n-x|<ε/2 (1)

Т.к. y_n→y  (ε>0)(ƎN₂(ε)ϵN)( nϵN, n> N₂(ε)):|y_n-y|<ε/2 (2).

Выберем N(ε)=max{ N₁(ε), N₂(ε)}. Тогда при n>N(ε) опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.

Оценим разность при n> N(ε): |(x_n+y_n)-(x+y)| = |(x_n-x)+(y_n-y)|≤|x_n-x|+|y_n-y|< ε/2 + ε/2 = ε

Получено следующее определение: (ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)): |(x_n+y_n)-(x+y)|< ε

Это означает, что _n + y_n) = x + y. Ч.т.д.

Док-во: докажем, что _n - y_n) = x - y

Т.к. x_n→x  (ε>0)(ƎN₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_n-x|<ε/2 (1)

Т.к. y_n→y  (ε>0)(ƎN₂(ε)ϵN)( nϵN, n> N₂(ε)):|y_n-y|<ε/2 (2).

Выберем N(ε)=max{N₁(ε), N₂(ε)}. Тогда при n>N(ε) опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.

Оценим разность при n> N(ε): |(x_n-y_n)-(x-y)| = |(x_n-x)-(y_n-y)|≤|x_n-x|-|y_n-y|< ε/2 + ε/2 = ε

Получено следующее определение: (ε>0)(ƎN(ε)ϵN)( nϵN, n> N(ε)): |(x_n-y_n)-(x-y)|< ε

Это означает, что _n - y_n) = x - y. Ч.т.д.

2) _n*y_n) = _n * _n = xy

Т.к. x_n→x  (ε>0)(ƎN₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|x_n-x|<ε (1)

Т.к. y_n→y  (ε>0)(ƎN₂(ε)ϵN)(nϵN, n> N₂(ε)):|y_n-y|<ε (2).

Выберем N(ε)=max{ N₁(ε), N₂(ε)}. Тогда при n>N(ε) опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.

Оценим разность |(x_n*y_n)-(xy)| при n> N(ε)

|x_n*y_n-xy| = |(x_n-x)*(y_n-y)+xy_n+x_ny-2xy| = |(x_n-x)(y_n-y)+x(y_n-y)+y(x_n-x)|≤ |(x_n-x)*(y_n-y)|+| x(y_n-y)|+|y(x_n-x)| = |x_n-x|*|y_n-y|+|x|*|x_n-x|+|y|*|y_n-y|<ε²+|x|*ε+|y|*ε = ε₁

Получаем следующее определение: (ε₁>0)(ƎN(ε₁)ϵN(ε))( nϵN, n> N(ε₁)): |x_n*y_n-xy|< ε₁

Это означает, что _n*y_n) = xy ч.т.д.

3) _n/y_n) = _n / _n= x/y, y_n≠0, y≠0

Сначала докажем, что _n = 1/y

Т.к. y_n→y  (ε>0)(ƎN₁(ε)ϵN)( nϵN, n> N₁(ε)):|y_n-y|<ε (1)

Т.к. начиная с номера N₁(ε) все эл-ты послед-ти y_n лежат в ε-окр-ти точки y, то они все будут удовлетворять следующему неравенству: |y₁|>|y|/2 при n> N₂(ε)

Выберем за N(ε)=max{N₁(ε), N₂(ε)} и при n> N(ε) оценим разность: |1/y – 1/y_n| = |(y-y_n)/y*y_n| = |y-y_n|/|y_n|*|y| < |y_n-y|/(|y|/2)*|y| = 2|y_n-y|/|y|*|y| < 2 ε/|y|² = ε₁ => => _n = 1/y

Рассмотрим _n/y_n) = _n * 1/y_n) = x * 1/y = x/y Ч.т.д.

________________________________________________________________________