53)Вывести таблицу интегралов из определения неопределенного интеграла .

Таблица интегралов.

1) ∫x^αdx = +C (α≠-1)

= =x^α

2) α=-1 => ∫x^-1dx = ∫=ln|x|+C

ln|x|=ln(x) при x>0 и ln(-x) при x<0

(ln|x|)’= 1/x при x>0 и 1/x при x<0

3. ∫= arctgx + C или –arctgx + C

4. ∫=

5. ∫= arcsinx + C или –arcsinx + C

6. ∫= ln|x+|+C = (+)Arshx + Cили (-) Archx + C

7. ∫a^xdx = + C

8. ∫e^xdx = e^x + C

9. ∫sinxdx = -cosx + C

10. ∫cosxdx = sinx + C

11. ∫= tgx + C

12. ∫= ctgx + С

13. ∫shxdx = chx + C

14. ∫chxdx = shx + C

15. ∫= thx + C

16. ∫= -cthx + C

Дополнение к таблице интегралов.

1) ∫=

∫= ∫==

2) ∫=

∫= ===

3. ∫=

∫= ==

4) = arcsin+ C

= == arcsin+ C

5) = ln|x +| + C

= ==+ C =+C= ln|x +| - lna + C = ln|x +| + C₁

6) = ±+ C

= ==+ C = =±+ C

7)

= |x=asint, dx=acostdt,=acost| == ====+ C = =+ C =+ C =,при cos²t=, sint=x/a, cost=, t=arcsin(x/a).

8) dx =

________________________________________________________________________

54) Замена переменной в неопределенном интеграле.

Теорема: пусть ф-я x=ϕ(t) определена и дифференцируема на (α;β), а мн-во ее значений есть (a,b).

Пусть для ф-и f(x) на (a,b) существует первообразная F(x), т.е. ∫f(x)dx= F(x)+C.Тогда всюду на (α;β) существует первообразная для ф-и f(ϕ(t))*ϕ’(t) и имеет место ф-ла

∫f(x)dx = ∫f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt = F(ϕ(t)) + C

Док-во: F(x) – первообразная для f(x). найдем дифференциал d(F(ϕ(t))+C)=(F(ϕ(t))+C)_t’dt = =F’(ϕ(t))*ϕ’(t)dt = f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt => ∫f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt = F(ϕ(t))+C (1)

d(F(ϕ(t))+C)=f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt=f(x)dx при x=ϕ(t), ϕ’(t)dt=x_t’dt=dx

∫f(x)dx=f(ϕ(t))+C (2)

Объединяя (1) и (2)б, получаем:

∫f(x)dx=∫f(ϕ(t))*ϕ’(t)dt=F(ϕ(t))+C. полученная ф-ла назыв. ф-лой замены переменной в неопределенном интеграле.

В некоторых примерах, когда под знаком корня стоят выр-я, содержащие x²б аналогичные замены ен приводят к верному решению. Для интегралов такого вида сещуствуют спец. Замены:

1. ∫R(x,)dx =>замена x=asint, dx=arccost+dt(a>0)

= === a|cost| = acost

x=asint => sint = => t=arcsin, tϵ[], cost>0

∫R(x,)dx = ∫R(asint, acost)*acostdt

2. ∫R(x,)dx =>замена x=asht, dx=acht+dt(a>0)

= === a|cht| = acht

ch²t – sh²t = 1

∫R(x,)dx = ∫R(asht, acht)*achtdt

Либо: x=atgt, dx=

= ===

1 + tg²t = 1 + =

x=atgt => tgt = => t = arctg, tϵ[]

∫R(x,)dx = ∫R(atgt,)

3. ∫R(x,)dx =>замена x=acht, dx=ashtdtб либо x=

= === a|sht| = asht

∫R(x,)dx = ∫R(acht, asht)*ashtdt

Либо: x=,dx=

= === a|ctgt|= actgt.

=== ctg²t

∫R(,actgt)actgtdt.

________________________________________________________________________

55)Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Теор.: пусть каждая из ф-й u(x) и v(x) определены и диффер. на (a,b) и пусть на этом мн-ве сущ. первообразная для ф-и u(x)*v’(x). Тогда на (a,b) сущ. первообразная для ф-и v(x)*u‘(x) и имеет место ф-ла ∫u(x)*v’(x)dx = uv - ∫v(x)*u’(x)dx или ∫udv = uv - ∫vdu.

Док-во: рассмотрим дифференциал d(uv) = vdu + udv

udv = d(uv) – vdu |∫ => ∫udv = ∫d(uv) - ∫vdu

∫udv = uv - ∫vdu – формула интегрирования по частям

Для применения этой формулы подынтегральные выр-я нужно представить в виде одной ф-и на дифференциал другой ф-и.

Применяется к ∫ след вида:

1. ∫f(x)dx, где f(x) – обратная ф-я

f(x) = {lnx, ,arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx}, f(x)=u, dx=dv

2. ∫f(x)P(x)dx, где f(x)= {lnx, ,arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx}, f(x)=u, P(x)dx=dv, P(x) – рациональная или иррациональная ф-я.

3. ∫P(x)f(x)dx, где P(x)-многочлен, f(x) = {e^x, a^x, sinx, cosx, tgx, ctgx}, P(x)=г

4. ∫e^axcosbxdx и ∫e^axsinbxdx – круговые интегралы.

Эти интегралы вычисляются 2 раза по частям. В результате двукратного применения ф-лы интегрирования по частям, в правой части получаем такой же интеграл, что и в левой. Вычисляем этот интеграл, решая алгебраическое уравнение. В круговых интегралах не важно, какую из ф-й обозначить за u.

e^iϕ=cosϕ+isinϕ, cosϕ=Re e^iϕ, sinϕ=Im e^iϕ. Re-действительная часть, Im-мнимая часть.

________________________________________________________________________