17)Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условие существования предела функции.

. Пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x) и x=a-предельная точка мн-ва Е

Опред.1: число А назыв. правосторонним пределом ф-и а(ч)(пределом ф-и справа) в точке а, если (ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a<x<a+ƃ): |f(x)-A|<ε и обозначается A=f(a+0)==.

Опред.2:число А называется левосторонним пределом ф-и а(ч)(пределом ф-и слева) в точке а, если (ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, a-ƃ <x<a): |f(x)-A|<ε и обозначается A=f(a-0)==.

Необходимое и достаточное условие существования предела ф-и.

Для того, чтобы ф-я имела своим пределом число А при стремлении х к а, необх. и достат., чтобы существовали односторонние пределы в т. а и они были равны между собой

Ǝ f(a-0), f(a+0), f(a-0)=f(a+0)=A

Док-во: 1) необх. Пусть ,т.е. выполнено опред.1 (ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE,0<|x-a|<ƃ): |f(x)-A|<ε. Здесь 0<|x-a|<ƃ => a-ƃ<x<a+ƃ

x≠a

т.е. определение (1) выполнено при a-ƃ<x<a и a<x<a+ƃ =>Ǝ=Aи Ǝ=A => f(a-0)=f(a+0)=A

2) достат. Пусть Ǝ=Aи Ǝ=A (ε>0)( Ǝƃ₁(ε)>0)( xϵE,a- ƃ₁< <x<a): |f(x)-A|<ε (2)

(ε>0)( Ǝƃ₂(ε)>0)( xϵE,a<x<a+ƃ₂): |f(x)-A|<ε (3)

Выберем ƃ(ε)=min{ƃ₁(ε), ƃ₂(ε)}/ тогда при a-ƃ<x<a и a<x<a+ƃ определения (2) и (3) выполн. одновременно. Это означает, что Ǝ.

________________________________________________________________________

18) Первый замечательный предел следствия из него.

Док-во: пусть 0<x<

Sтр aom < Sсект aom< Sтр aob

Sтр aom=1/2*om*oa*sinx = 1/2sinx

Sсект aom=(*om²)/2= 1/2*x

Sтр aob=1/2*oa*ab=1.2*tgx

1/2sinx < 1/2*x < 1.2*tgx=1/2*|/ 1/2sinx

1 < <(*) =>cosx < < 1 |*=>по милицейской теореме

Рассмотрим предел при – <x<0

= (замена x=-t, x→0, t→+0) = === 1

Ǝf(+0)=f(-0)=1 => Ǝ

Следствия из первого замечательного предела.

1. Если в (*) перейти к ,

2. 

= =1

3. =1

= (замена x=sint, x→0, t→0) = ==1

4. =1

= (замена x=tgt, x→0, t→0) = ==1

________________________________________________________________________

19)Второй замечательный предел и следствия из него.

Ранее было доказано, что .

Докажем, что .

1. Пусть x→+∞. Каждое значение x заключено между двумя большими нуля числами n≤x<n+1, n=[x]. => <≤|+1 => (+1) < (+1) ≤ (+1). Возведем в степень так, чтобы у меньших выражений степень была меньше. (+1)ⁿ < ( +1)^x ≤ (+1)ⁿ

На основании (*) |=>=== е

= *= е

По милицейской теореме Ǝ.

2. Пусть x→-∞

= (замена x=-t, x→-∞, t→+∞) = .

Следствия из второго замечательного предела.

1. = e

= (замена 1/x=t, x→0, t→∞) = =e

2. =

= ===

3. = = 1

4. = lna

= (замена=t, x→0, t→0, ,x=) == ====lna

5. = 1

________________________________________________________________________

20)Сравнение бесконечно малых величин.

Пусть на мн-ве Е задана ф-я y=f(x) и а-предельная точка мн-ва Е.

Ф-я f(x) назыв. б.м. при x→a

F(x) – б.м. при x→a, если =>(ε>0)( Ǝƃ(ε)>0)( xϵE, 0<|x-a|<ƃ): |f(x)|<ε

Опред.2: пустьy=f(x) и y=g(x) – б.м. при x→a

1. Если Ǝ== 0, то говорят, чтоf(x) явл. величиной более высокого порядка малости, чем g(x). Обознач. f(x)=0(g(x))

Более высокий порядок малости означает, что f(x) быстрее стремится к 0, чем g(x)

2. Если Ǝ== ∞, то говорят, чтоg(x) имеет более высокий порядок малости, чем f(x). Обознач. g(x)=0(f(x))

3. Если Ǝ==C, где С≠0-конечное число, то говорят, что f(x) и g(x) – б.м. одного порядка малости.

________________________________________________________________________