63. Определение интеграла Римана. Функции, интегрируемые по Риману.
Геометрический смысл интеграла Римана.
Определение интеграла Римана. Функции, интегрируемые по Риману.
Пусть на отрезке [a,b] задана непрер. ф-я f(x). Разобьем отрезок на n частей точками a=x0<x1<x2<…<xi<…<xn=b и обозначим Δxi=xi-xi-1(i=1,2, …,n)- длина элементар. отрезка.
Λ=max{Δx1,Δx2, …,Δxn} – диаметр разбиения.
Выберем в каждом элементарном отрезке произвольную точку Ѯiϵ[xi-1, xi] (i=1,2,…,n).
Значения
ф-и в произвольной точке Ѯi
умножаем
на длину соответствующего отрезка и
суммируем по всем отрезкам. В результате
получаем выражение In=
,
которая назыв. интегральной суммой для
ф-иf(x)
на [a,b].
Опред.:
если существует предел интегральных
сумм при стремлении диаметра разбиения
к нулю, не зависящий от способа разбиения
отрезка [a,b]
и от выбора произвольных точек (Ѯi),
то он назыв. определенным интегралом
или интегралом Римана для ф-и f(x)
на [a,b]
и обозначается
,
при этом границы отрезка [a,b]
назыв. соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования.
Ǝ
.
Если для ф-и f(x) на [a,b] существует определенный интеграл, то ф-ю f(x) назыв. интегрируемой по Риману на отрезке [a,b] и обозначают f(x)ϵR[a,b].
Интегрировать по Риману можно след. ф-и:
f(x)-непрер. на [a,b]
f(x) – огранич. на [a,b], имеющая конечное число точек разрыва.
Геометрический смысл интеграла Римана.
Si=f(Ѯi)Δxi – площадь элемент. Прямоугольника
In=
– площадьn-элемент-го
прям-ка(площадь ступенчатой ф-ры.
i
Чтобы равенство было точное, диаметр разбиения необходимо устремить к нулю.
.
Интеграл Римана численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), снизу – отрезком [a,b] действительной оси и прямыми x=a и x=b.
________________________________________________________________________
64. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
1) если f(x)ϵR[a,b] и g(x)ϵR[a,b], то (f(x)±g(x))ϵR[a,b]
=
±
Док-во:
рассмотрим интеграл
=
= =
=
±
= =
.
2) если f(x)ϵR[a,b] и CϵR, C=const, то ф-я (Cf(x))ϵR[a,b]
=
.
Док-во:
рассмотрим
= [ по определению ] =
= =
=
.
3)
если f(x)ϵR[a,b]
и a<c<b
(т.е. c-внутренняя
точка [a,b]),
то f(x)ϵR[a,c]
и f(x)ϵR[c,b]
и имеет место формула
=
+
.
Док-во: разобьем отрезок [a,b] следующим образом: a=x0<x1<x2<…<xk=c<xk+1<…<xn=b.
=
=
+ +
=
+
.
4)
если f(x)ϵR[a,b],
то f(x)ϵR[b,a]
и имеет место формула
=
.
Док-во: разобьем отрезки [a,b] и [b,a] одними и теми же точками
a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b.
тогда для [a,b]
Δxi
= xi
– xi-1
и
,
где Ѯiϵ[xi-1,
xi],
(i=2,3,…,n);
для [b,a]
Δxi=xi-1-xi=
–Δxi
, Ѯi
выберем таким же, как и в In.
In’=
’
=
= –In
=> In
= –In’
|
=
= -(
=
.
5)
если f(x)ϵR[a,b],
то
=
=
,
т.е. интеграл не зависит от выбора
переменной интегрирования.
Док-во следует из геометрического смысла интеграла Римана, т.е. каждый из интегралов определяет площадь одной и той же криволинейной трапеции.
6)
=b
– a
(интеграл равен длине отрезка
интегрирования).
Док-во:
пусть f(x)=1.
In=
=Δx1+Δx2+…+Δxn
= (x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xn-xn-1)
= xn--x0=b-a.
=
=
= b–a.
________________________________________________________________________