28)Непрерывность сложной и обратной функции.
Теорема 1: о непрерывности сложной ф-и.
Пусть ф-я u=ф(x) непрер. в т. x0ϵE, а ф-я y=f(u) непрер. в т. u0ϵD, причем u0=ф(x0). Тогда сложная ф-я y=f(ф(x)) непрер. в т. x0ϵE.
Док-во:
воспользуемся опред-ем непрер-ти по
Гейне. Пусть u=ф(x)
непрер. в т. x0ϵE,
т.е.
=ф(x0)
(
{xn}ϵE,
xn→x0):ф(xn)→ф(x0)
(1)
y=f(u)
– непрер. в т. u0ϵD,
т.е.
=f(u0)
(
{un}ϵD,
un→u0):f(un)→f(u0)
(f(ф(xn))→
f(ф(xn)))
(2)
т.к.
u=ф(x),
то un=ф(xn),
u0=ф(x0).
Объединим опред-я 1 и 2: (
{xn}ϵE,
xn→x0):
f(ф(xn))→
f(ф(xn))
=>
=f(ф(x0)),
т.е. f(ф(x))
– непрер. при x=x0ϵE
Теорема 2: о непрерывности обратной ф-и.
y=f(x), xϵE, yϵY. x=ф(у)=f-1(y)
пусть ф-я y=f(x) определена монотонно возрастает(или монот. убыв.) на мн-ве Е. Тогда на мн-ве Y существует обратная ф-я x=f-1(y), монотонно возрастающая( монот. убыв-я) на мн-ве Y.
Без док-ва.
________________________________________________________________________
29) Первая и вторая теоремы Коши.
1-я теорема Коши.
Пусть ф-я y=f(x) определена и непрер. на замкнутом промежутке [a,b] и на концах этого пром-ка принимает знач-я разных знаков. Тогда между a и b найдется точка c такая, что f(c)=0. Теорема без док-ва.
2-я теорема Коши.
Пусть
ф-я y=f(x)
определена и непрер. на отрезке [a,b]
и на концах этого отрезка принимает
неравные значения. f(a)=A,
f(b)=B
и A<B.
Тогда для
С:A<C<B
Ǝсϵ(a,b)
такое, что f(c)=С.
Док-во: введем вспомогательную ф-ю ф(x)=f(x)-C – опред. и непрер. на [a,b].
ф(a)=f(a)-C=A-C<0
на концах отрезка принимает знач-я
разных знаков
ф(b)=f(b)-C=B-C>0
тогда по 1-й теореме Коши: Ǝcϵ(a,b), такая, что ф(c)=0 =>f(c)-C=0 => f(c)=C ч.т.д.
________________________________________________________________________
30) Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
1-я теорема Вейерштрасса.
Если ф-я f(x) опред. и непрер. на [a,b], то она ограничена на этом мн-ве.
Теорема без док-ва.
2-я теорема Вейерштрасса.
если f(x) опред. и непрер. на [a,b], то она достигает на этом мн-ве своих точных верхней и нижней граней.
Теорема без док-ва.
________________________________________________________________________
31)Определение производной. Геометрический и физический смысл.
Рассмотрим y=f(x) на (a,b). Пусть x0ϵ(a,b) – внутренняя точка.
Δx = x – x0 – приращение независимой перем-й(аргум-та).
Δf(x0) = f(x) – f(x0) – приращение ф-и f(x) в точке x0при изменении аргум-та от x0 до x.
Составим
отношение приращения ф-и к приращению
аргум-та:
.
Опред.: если сущ. Предел отношения приращ. Ф-и Δf(x) к вызвавшему его приращ. аргум-та Δx при стремлении Δx к 0, то он назыв. производной ф-и f(x) в точке x0 и обознач.:
,
(по Лейбницу)f’(x0), y’ (по Логранжу)
Df(x0), Dy (по Коши)
=
= f’(x0)
Геометрический смысл производной.
Рассмотрим y=f(x) и на графике этой ф-и выберем
т. А (x0,f(x0)). Дадим приращение Δх.
Соединим т. А и В прямой, которая назыв. секущей.
Угол, который образует секущая с положит. напр. оси х
Обозначим
за α. Из прямоуг. ΔABC:tgα=
=
=f’(x0).
Устремим
к 0. Тогда т.В →А и секущая займет свое
положение (положение касательной) и
угол между касательной и положит. напр.
оси х.
tgγ=
=
=f’(x0).
=>
tgγ
= f’(x0)
= k,
где k
– углов. коэф. касат.
f(x)-f(x0) = f’(x0)(x-x0) – ур-е касат. к графику y=f(x) в т. (x0, f(x.)).
k*k1
= -1 => k1
=
– усл-е перпендик. прямых.
f(x)
– f(x0)
= -
– ур-е нормали к графикуy=f(x)
в т. (x0,
f(x.)).
Физический смысл производной.
Пусть S(t0) – путь, пройденный точкой за время t0. Тогда S(t0+Δt) – путь, пройденный за время (t0+Δt). ΔS(t0)=S(t0+Δt)=S(t0) – приращение пути за Δt.
Ѵср
=
Ѵ(t0)
=
=
=S’(t0)
S’(t0) = Ѵ(t0).
С физической точки зрения производная пути – это скорость данной точки.
________________________________________________________________________