10)Теоремы о предельном переходе в неравенствах
. пусть даны числ. послед-ти xn, yn, zn
1)
для сходящихся числ. послед-тей xn
и yn
из
соотношения
n=x,
n=y
и xn≤yn
(
nϵN)
следует, что x≤y
Док-во:
Т.к. xn→x
(
ε>0)(ƎN1(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N1(ε)):|xn-x|<ε/2
(1)
Т.к.
yn→y
(
ε>0)(ƎN2(ε)ϵN)(
ϵN,
n>
N2(ε)):|yn-y|<ε/2
(2)
N(ε)=max{N1(ε),
N2(ε)}
и при
n>
N(ε)
опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.
Предположим методом от противного, что x>y и выберем ε = x-y.
(1): x- ε/2<xn< x+ε/2 => xn≥ x- ε/2 = (ε+y)- ε/2 = y+ ε/2>yn
(2): y- ε/2<yn<y+ ε/2
Это
противоречит условию xn≤yn
nϵN.
След-но предположение что x>y
неверно.
2)
Из соотношений
n
=
n
=
a
и xn≤zn≤yn
следует,
что
n
=
a
Док-во:
Т.к. xn→a
(
ε>0)(ƎN1(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N1(ε)):|xn-a|<ε
(1)
yn→a
(
ε>0)(ƎN2(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N2(ε)):|yn-a|<ε
(2)
N(ε)=max{N1(ε),
N2(ε)}
и при
n>
N(ε)
опред-я (1) и (2) выполняются одновременно.
(1):
a- ε<xn<
a+ε
=> a- ε<xn≤zn≤yn<
a+ ε
n>N(ε)
(2): a- ε<yn<a+ ε
Получаем
a-
ε<
zn<
a+ ε
n>N(ε)
=> (
ε>0)(Ǝ
N(ε)ϵN)(
nϵN,
n> N(ε)):|zn-a|<ε
=>
n=a
________________________________________________________________________
11)Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Связь между ними. Свойства бесконечно малых последовательностей.
Опред.1:
последовательность xn
называется бесконечно малой, если
n=0
(
ε>0)(ƎN(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N(ε)):|xn|<ε.
Смысл б.м. послед-ти: каково бы ни было сколь угодно малое положительное число ε, всегда найдется такой номер N(ε), начиная с которого все эл-ты послед-ти лежат вблизи нуля (в малой ε-окр-ти).
Опред.2:
числ. послед-ть xn
назыв. Бесконечно большой, если
n=∞
(
ε>0)(ƎN(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N(ε)):|xn|>ε.
Смысл б.б. послед-ти: каково бы ни было сколь угодно большое положительное число ε, всегда найдется номер N(ε), начиная с которого все эл-ты послед-ти по модулю становятся больше заданного большого числа ε.
Если
xn>0,
xn
– б.б.
(
ε>0)(ƎN(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N(ε)):xn>ε.
Если
xn<0,
xn
-
б.б.
(
ε>0)(ƎN(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N(ε)):xn<-ε.
Связь между б.б. и б.м. послед-ми.
Если xn – б.м., то 1/xn – б.б. и наоборот.
Док-во:
пусть xn
– б.м.
(
ε>0)(ƎN(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N(ε)):|xn|<ε.
|xn|<
ε умножим на 1/(|xn|*ε)
=> 1/ε<1/|xn|
=> 1/|xn|>1/ε
nϵN.
(
1/ε>0)(ƎN(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N(ε)):1/|xn|>1/ε
=> 1/xn
– б.б.
Свойства б.м. послед-тей.
Сумма или разность двух б.м. послед-тей есть величина б.м.
Пусть
xn,
yn
– б.м., т.е.
n=0,
n=0
n
±
yn)
=
n
±
n=
0 => (x ± y) – б.м.
Произведение двух б.м. послед-тей есть б.м. послед-ть
Док-во аналогично. Св-ва 1 и 2 обобщаются на конечное число б.м. послед-тей.
Произведение б.м. послед-ти на ограниченную есть величина б.м.
Док-во:
пусть zn=xn*yn,
где xn
– ограниченная послед-ть, т.е. (ƎM>0)(
nϵN):|xn|≤M
Пусть
yn
– б.м. => (
ε>0)(ƎN(ε)ϵN)(
nϵN,
n>
N(ε)):|yn|<
ε/M.
Оценим
|xn*yn|
при
n>N(ε):
|xn*yn|=|xn|*|yn|≤M*|yn|(
nϵN)<M*(ε/M)
= ε (
nϵN)
=> => zn=xn*yn
– б.м.
________________________________________________________________________