37)Производная неявно заданной функции.

Производная неявно заданной ф-и.

Пусть ф-я y=f(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0. Допустим, что это ур-е разрешается относит. ф-и y=f(x). Тогда дифференцируя тождество F(x, y(x))=0 как сложную ф-ю по x, можно вычислить y’.

F(x, y(x))=0 |=>F_x’+F_y’*y_x’=0 => y_x’ = .

________________________________________________________________________

38) Определение дифференцируемой ф-и в точке. Необход. и достат. усл-я.

Определение дифференцируемой ф-и в точке.

Опред.: ф-я y=f(x) назыв. дифференцируемой в т. x₀ϵ(a,b), если ее приращение в этой точке представимо в виде Δf(x₀) = f(x₀+Δx)-f(x₀) = AΔx+α(Δx)* Δx, где A-const, а α(Δx) – б.м. при Δx→0, т.е. α(Δx) →0 при Δx→0.

Необход. и достат. усл-я.

Для того, чтобы ф-я y=f(x) была диффер. в т. x₀ϵ(a,b), необх. и достат., чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: 1) необходимость: пусть f(x) диффер. в т. x₀. Покажем, что Ǝf’(x₀) – конечная.

Δf(x₀) = AΔx+α(Δx)*Δx |:Δx≠0

= A+ α(Δx) |=>= A = f’(x₀).

2) достаточность: пусть сущ. f’(x₀) – конечная. Покажем, что f(x) диффер. в т. x₀.

Обозначим f’(x₀)=А. тогда по опред. производной =A. Из определения предела следует, что |–A|<ε для любого сколь угодно малого ε>0, т.е. –A – б.м. при Δx→0. Обозначим –A = α(Δx), где α(Δx)→0 при Δx→0 |*Δx

Δf(x₀) = A* Δx + α(Δx)* Δx, т.е. f(x) диффер. в т.x₀.

Следствие: при док-ве теор. было получено, что A=f’(x₀). Тогда опред. диффер. ф-и можно записать в виде Δf(x₀)=f’(x₀) Δx+α(Δx) Δx, где α(Δx)→0 при Δx→0

________________________________________________________________________

39) Связь между непрерывностью и дифференцируемостью ф-и.

Пусть ф-я y=f(x) диффер. в т. x₀ϵ(a,b). Тогда она непрер. в этой точке.

Док-во: т.к. f(x) диффер. в т. x₀, то ее приращение в этой точке можно записать в виде

f(x)-f(x₀)=A*(x-x₀)+α(x- x₀)*(x- x₀) |

= = 0 =>=f(x₀), т.е. f(x) непрер.

Замечание: обратное утверждение вообще говоря неверно. Сущ-ют ф-и, непрер. в т. x₀, но не диффер. в этой точке.

________________________________________________________________________

40) Определение дифференциала ф-и. Геометрический смысл дифференциала. Правила вычисления дифференциала.

Определение дифференциала ф-и.

Пусть y=f(x) диффер. в т. x₀ϵ(a,b). Тогда ее приращение

в этой точке представимо в виде

Δf(x₀)=f’(x₀) Δx + α(Δx) Δx ,где α(Δx)→0 при Δx→0.

Опред.: главная линейная часть приращения ф-и назыв.

дифференциалом и обознач. dy или d(x₀).

df(x₀)=f’(x₀)*Δx – дифференциал.

Геометрический смысл дифференциала.

Геом. Смысл диффер-ла состоит в следующем: df(x₀) = приращению ординаты касательной в т.А(x₀, f(x₀)) при переходе от точки x₀ к точке x₀₊ Δx.

Правила вычисления дифференциала.

1. d(Cu) = C*du

Док-во: d(Cu) = (Cu)’ *dx = (C’u + Cu’)dx = Cu’dx = Cdu

2. d(u±v) = du ± dv

Док-во: d(u±v) = (u±v)’dx = (u’ ± v’)dx = u’dx ± v’dx = du ± dv

3. d(uv) = vdu + udv

Док-во: d(uv) = (uv)’dx = (u’v + uv’)dx = vu’dx + uv’dx = vdu + udv

4. d() =

Док-во: d() = ()’dx = ()dx = =.

________________________________________________________________________

41) Инвариантность формы первого дифференциала.

Все записи диффер. ф-и y=f(x) не зависят от того, явл. ли x независ. перем., или ф-ей новой независ. перем.

Док-во: 1) x – независ. перем.: dy=f’(x)dx

2) x – завис. перем.: пусть x=x(f).

Тогда получим сложн. ф-ю y=f(x(t))=ϕ(t), где t-независ. перем.

dy = ϕ_t’dt = f_x’*x_t’dt = f_x’*dx (dx-дифференциал ф-и x(t)).

________________________________________________________________________

42)Производные и дифференциалы высших порядков. Правила повторного дифференцирования.

Производные и дифференциалы высших порядков.

пусть y=f(x) опред. на (a,b) и в каждой точке этого интервала имеет производную. Тогда y’=f’(x) явл. ф-ей на (a,b) и относит. этой ф-и можно поставить вопрос о существовании производной.

Опред.1: если Ǝ, тоlim назыв. второй производной от ф-и f(x) и обознач. f’’(x)=. Аналогично можно определитьf’’’, f^{iv и} т.д.

Опред.2: производная n-го порядка при n≥1 опред. с помощью соотношения y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’, y⁽⁰⁾=y(x).

Аналогично опред. диффер. n-го порядка

dⁿy=d(d^n-1y), d⁰y=y(x).

Правила повторного дифференцирования.

Пусть u=u(x)’ – n-раз дифференцированная ф-я

1. (Сu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾, C-const

dⁿ(Cu) = Cdⁿг

2. (u±v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾

dⁿ(u±v) = dⁿu ± dⁿv

3)(uv)’ = u’v + uv’

(uv)’’ = (u’v + uv’)’ = u’’v + u’v’ +u’v’ + uv’’ = u’’v + 2u’v’ + uv’’

(uv)’’’ = (u’’v + 2u’v’ + uv’’)’ = u’’’v + u’’v’ + 2u’’v’ + 2u’v’’ + u’v’’ + uv’’’ = u’’’v + 3u’’v’ + 3u’v’’ + uv’’’

(uv)^iv = u^ivv + 4u’’’v’ + 6u’’v’’ + 4u’v’’’ + uv^iv

(uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + C_n¹*u^(n-1)v’ + C_n²*u^(n-2)v’’ + … + C_n^k*u^(n-k)v^(k) + … + C_n^n-1*u’v^(n-1) + uv⁽ⁿ⁾ = ∑ⁿ_k=0C_n^k* *u^(n-k)v^(k), C_n^k = .

Аналогично dⁿ(uv) = ∑ⁿ_k=0C_n^k*d^n-ku*d^kv.

________________________________________________________________________