32)Односторонние производные. Необходимое и достаточное условие существования производной.

Опред.: если сущ. ==f₊’(x₀), то его назыв. правосторонней производной ф-и f(x) в т.x₀. Аналогично ==f_--’(x₀) назыв. левостор. произ-й. Правую и левую произ-е назыв. одностор-ми производными.

Теорема: для того, чтобы ф-я y=f(x) имела в т. x₀ производную f’(x₀) необх. и достат., чтобы существовали односторонние производные и они были равны между собой.

Док-во следует из теор. Об односторонних пределах.

Замеч.1: если ф-и имеют угловые точки (ф-и, содержащие знак модуля), то в этих точках производная не существует.

Замеч.2: если = ∞, то такую производную назыв. бесконечной производной.

Замеч.3: если ф-я в точке x₀ имеет производную, то она дифференцируема в точке x₀.

________________________________________________________________________

33)Правила вычисления производных от суммы , произведения и частного.

1) вычисление суммы ф-й.

Если f(x) и g(x) дифференцируемы в т. x₀ϵ(a,b), то (f(x)±g(x)) = f’(x) ± g’(x)

2) вычисление произведения ф-й

Если f(x) и g(x) дифференцир. в т. x₀ϵ(a,b), то (f(x)*g(x)) (при x=x₀)= f’(x₀)*g(x₀) + f(x₀)*g’(x₀)

3) вычисление частного ф-й.

Если f(x) и g(x) дифференцир. в т. x₀ϵ(a,b), то ’ (приx=x₀) = , (g(x)≠0 xϵ(a,b))

Док-во: рассмотрим ϕ(х)=и найдем ϕ’(x₀).

ϕ'(x₀)=== == == ==

________________________________________________________________________

34)Производная сложной функции.

Пусть ф-я y=f(x) и u=u(x) такие, что можно образовать сложн. ф-ю y=f(u(x)).

Если ф-я u=u(x) дифференцируема в точке x₀ϵ(a,b), а ф-я y=f(u) диффер. в т. u₀ϵ(c,d), причем u_u=u(x). Тогда сложная ф-я y=f(u(x)) диффер. в т.x₀ϵ(a,b) и имеет место ф-ла (f(u(x)))’ (при x=x₀) = f_u’(u₀)*u_x’(x₀).

Док-во: g(x)=f(u(x)).

g’(x₀) = ====f_u’(u₀)*u_x’(x₀).

________________________________________________________________________

35)Производная обратной функции.

Пусть на (a,b) задана ф-я y=f(x), удовлетворяющая след. усл-ям:

1. f(x) монотонна в строгом смысле и непрерывна на (a,b)

2. дифференцируема на (a,b), причем точке x₀ϵ(a,b) f_x’(x₀)≠0.

Тогда существует обратная ф-я x=f^-1(y)=g(y), дифференцируемая в т. y₀=f(x₀) и ее производная вычисляется по формуле x’(y₀) = .

Док-во: в силу усл-я 1 по теор. о непрер. обратн. ф-иб существует обратная ф-я x=g(y), которая определена монотонно и непрерывна при любом yϵ(c,d). Вычислим ее производную в т. y₀. x'(y₀) = g’(y₀) = === =.

________________________________________________________________________

36) Производная функции заданной параметрически.

Пусть ф-я y=f(x) задана параметрически. x=x(t), y=y(t) tϵ(a,b). Если ф-и x(t) и y(t) дифференцируемы в т. t₀ϵ(a,b) и x’(t)≠0, то параметрически заданная ф-я y=f(x) имеет в т. x₀=x(t₀) производную, которая вычисляется по формуле: y_x’(x₀) = .

Док-во: т.к. x’(t₀)≠0, то из первого ур-я системы x=x(t), y=y(t), можно выразить обратную ф-ю, производная которой равна t’(x₀) = . Обратную ф-юt=t(x) подставим во второе ур-е системы и получим сложную ф-ю, зависящую от x^: y=y(t(x)). Ее производная равна y_x’(x₀) = =y_t’(t₀)*t_x’(x₀) = . =>y_x’(x₀) = .

Замечание: для параметрически заданной ф-и y=f(x), ее производная по х задается также в параметрическом виде: y’=f’(x): x=x(t), y_x’ = .

________________________________________________________________________