69) Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.

y = f(x), xϵ[a,b]

S =

S = -=

=

S=

x=a, x=b – абсциссы точек пересечения графиковy=f(x) и y=g(x) и отрезок [a,b] – проекция фигуры на ось Ox

S=-=

=

S=

y=c, y=в – ординаты точек пересечения графиков, а отрезок [c,d] – проекция плоской фигуры на ось Oy.

________________________________________________________________________

70) Площадь плоской фигуры в параметрическом виде.

Если кривая x=x(t), y=y(t) непрерывная и замкнутая при α≤t≤β, т.е. образует петлю. При возрастании параметра t, точка движется по кривой против часовой стрелки, а область, образуемая замкнутой кривой, остается слева, то S можно вычислить:

1. S =

2. S =

3. S =

Док-во: очевидно, что ф-ла (3) получена, если сложить ф-лы (1) и (2) и выразить S. Для вывода ф-лы (1) область проектируем на ось Ox:

S = = | заменаy=y(t), x=x(t) | = –

–= –=

=–=.

Для вывода ф-лы (2) данную область проецируем на ось Oy:

S = = | заменаy=y(t), x=x(t) | = -= =+=.

________________________________________________________________________

71) Площадь плоской фигуры в полярных координатах.

Пусть r=r(ϕ) – ур-е кривой в полярных координатах и пусть r(ϕ) непрерывна на [a,b].

Фигура, ограниченная кривой r=r(ϕ) и двумя лучами ϕ=α и ϕ=β называется криволинейным сектором.

S криволинейного сектора вычисляется по формуле

S =

Док-во:

Разобьем отрезок [α,β] на n частей

α=ϕ₀< ϕ₁<…< ϕ_i-1< ϕ_i<…< ϕ_n=β и рассмотрим элементарный криволинейный сектор

Δϕ=ϕ_i – ϕ_i-1 (i=1,…,n)

Его площадь можно приближенно заменить

Площадью криволинейного сектора.

Для этого выберем любую точку (Ѯ_i)ϵ[ϕ_i-1, ϕ_i] и вычислим r(Ѯ_i).

S_{круг.сект.} = =.

ΔS_i≈– площадь элементарного криволинейного сектора.

Тогда S≈

Чтобы это равенство было точное, перейдем к . получим

S = =ч.т.д.

________________________________________________________________________

72. Вычисление длины дуги в декартовых координатах.

f(x)-непрерывная функция.

Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками

a=x₀<x₁<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b A=A₀, A₁, …, A_i-1, A_i, …, A_n=И

соединим эти точки отрезками прямых. В результате

получим ломанную линию, вписанную в данную дугу.

L_n = - длина ломанной.

Если для любых разбиений отрезка [a,b] существует предел , гдеλ=max{Δx₁, Δx₂, …, Δx_n}. Если этот предел существует и равен конечному числу, то его назыв. длиной дуги AB, а саам дуга при этом назыв. спрямляемой.

L_AB = .

Вычислим длину одного звена ломанной по теореме Пифагора.

|A_i-1A_i| = ==.

(Δy_i = y_i-y_i-1 = y(x_i)-y(x_i-1) = y’(Ѯ_i) Δx_i по ф-ле Лагранжа ƎѮ_iϵ[x_i-1x_i]).

Тогда L_n==

L_AB = ==

L_AB = .

________________________________________________________________________

73. Вычисление длины дуги в параметрическом виде.

AB: x=x(t), y=y(t) (α≤t≤β)

L_AB = = | заменаx=x(t), y=y(t), y’(x)=| == ===

L_AB = .

________________________________________________________________________

74. Вычисление длины дуги в полярных координатах.

AB: r=r(ϕ), α≤ϕ≤β

Связь между декартовыми и полярными координатами: x=r*cosϕ, y=r*sinϕ. Тогда ур-е кривой AB можно задать в следующем виде: x=r(ϕ)cos ϕ=x(ϕ), y=r(ϕ)sin ϕ=y(ϕ).

L_AB = .

x'²(ϕ) = (r’(ϕ)cos ϕ – r(ϕ)sin ϕ)² = x’²cos² ϕ – 2r*r’sin ϕ*cos ϕ + r²sin² ϕ

y’²(ϕ) = (r’(ϕ)sin ϕ + r(ϕ)cos ϕ)² = r’²sin² ϕ + 2r*r’sin ϕ*cos ϕ + r²cos² ϕ

складывая, получаем: x’²(ϕ) + y’²(ϕ) = r’²(cos² ϕ + sin² ϕ) + r²(sin² ϕ + cos² ϕ) = r’² + r².

Тогда длина дуги L_AB = =.

L_AB = .

________________________________________________________________________