49) Достаточные условия экстремумафункции в точке

Первое достат. усл-е экстремума:

Пусть ф-я f(x) опред. на (a,b) и дифференцируема в окр-ти т. x₀ϵ(a,b), за исключением быть может самой этой точки. Тогда если при переходе через т. x₀ f’меняет знак.

1. f’(x)>0 при x<x₀ , f’(x)<0 при x>x₀, т.е. с «+» на «-», то т.x₀ – точка локал. max

2. f’(x)<0 при x<x₀ , f’(x)>0 при x>x₀, т.е. с «-» на «+», то т.x₀ – точка локал. min

если при переходе через т. x₀ f’ не меняет знак, тото в т. x₀ экстремума нет.

Док-во: выберем отрезки из окр-ти т. x₀, где f(x) явл. дифференцируемой и для каждого отрезка запишем ф-лу конечного приращения Лагранжа.

ƎѮ₁ϵ(x,x₀):f(x₀)-f(x)=f’(Ѯ₁)(x₀-x) (1)

ƎѮ₂ϵ(x₀,x):f(x)-f(x₀)=f’(Ѯ₂)(x-x₀) (2).

Предположим, что при переходе через т. x₀ f’ меняет знак с «+» на «-», т.е. f’(x)>0 при x<x₀ и f’(x)<0 при x>x₀.

Тогда f’(Ѯ₁)>0 и из (1) следует, что f(x₀)-f(x)>0 f(x)<f(x₀) для xϵ(x₀-ƃ;x₀+ƃ), x₀ – т. лок. max

f’(Ѯ₂)<0 и из (2) следует, что f(x)-f(x₀)<0

Пусть f’(x₀) меняет знак с «-» на «+», т.е. f’(x)<0 при x<x₀ и f’(x)>0 при x>x₀.

Тоогда f’(Ѯ₁)<0 и из (1) => f(x₀)-f(x)<0 f(x)>f(x₀) для xϵ(x₀-ƃ;x₀+ƃ), x₀ – т. лок. min

f’(Ѯ₂)>0 и из (2) => f(x₀)-f(x)>0

пусть при переходе через т.x₀ f’ не меняет знак, например f’(x)>0 при x<x₀ и при x>x₀, т.е. f’(Ѯ₁)>0 и f(Ѯ₂)>0.

Тогда из (1) => f(x₀) – f(x)>0 => f(x)<f(x₀) при x<x₀

Из (2) => f(x) – f(x₀)>0 => f(x)>f(x₀) при x>x₀. Это означает, что в т.x₀ экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума:

Пусть ф-я f(x) определена на (a,b) и для нее выполнены след. усл-я:

1. f(x)ϵCⁿ(a,b)

2. Ǝx₀ϵ(a,b),f’(x₀)=f’’(x₀)=…=f^(n-1)(x₀)=0

3. f⁽ⁿ⁾(x₀)=0.

Тогда, если 1-я отличная от нуля производная в т. x₀ есть производная нечетного порядка, то в x₀ экстремума нет.

Если такой производной явл. производная четного порядка, то ф-я f(x) имеет в т. x₀ локальный max, если f⁽ⁿ⁾(x₀)<0 и локальный min, если f⁽ⁿ⁾(x₀)>0.

Теорема без док-ва.

Следствие. Если f(x) дважды непрерывно диффер. на (a,b) и Ǝx₀ϵ(a,b) такая, что f’(x₀)=0, а f’’(x₀)≠0, то при f’’(x₀)<0 x₀ – точка локального max, а при f’’(x₀)>0 x₀ – точка локального min.

________________________________________________________________________

50) Достаточные условия выпуклости (вогнутости) ф-и. Определение выпуклой и вогнутой ф-и.

Опред.1: пусть ф-я f(x) непрер на [a,b]. f(x) назыв. выпуклой ф-ей, если все точки любой дуги ее графика лежат выше соответствующей хорды.

Условие выпуклости ф-и можно записать в виде: ≥(1) (x₁, x₂ϵ(a,b), x₁<x<x₂). при x→x₁ f’(x₁) при x→x₂ f’(x₂)

Условие (1) при x→x₁ и x→x₂ означает, что f’(x₁)≥f’(x₂)

tgα=f’(x₁), tgβ=f’(x₂), ∠α≥∠β.

Опред.2: пусть ф-я f(x) непрер. на [a,b]. f(x) назыв. вогнутой на [a,b], если все точки дуги ее графика лежат ниже соответствующей хорды.

Условие вогнутости ф-и можно записать в виде: : ≤(2) (x₁, x₂ϵ(a,b), x₁<x<x₂). при x→x₁ f’(x₁) при x→x₂ f’(x₂)

Условие (2) при x→x₁ и x→x₂ означает, что f’(x₁)≤f’(x₂)

tgα=f’(x₁), tgβ=f’(x₂), ∠α≤∠β.

Достаточные условия выпуклости (вогнутости) ф-и.

Теорема 1:

Пусть ф-я f(x) определена на [a,b] и удовлетворяет след. усл-ям:

1. f(x)ϵC[a,b] (непрер. на [a,b])

2. f(x) – дифференцируема на (a,b)

Для того, чтобы f(x) была выпуклой на отрезке [a,b], необх. и достат., чтобы ее первая производная была убывающей на (a,b) хотя бы в широком смысле(≤).

Для того, чтобы f(x) была вогнутой на отрезке [a,b], необх. и достат., чтобы ее первая производная была возрастающей на (a,b) хотя бы в широком смысле.

Док-во: достаточность.

Пусть f’(x) – монотонно убыв. на (a,b). Покажем, что f(x) выпуклая ф-я. Для этого выберем два отрезка из (a,b) => [x₁,x]c(a,b), [x,x₂]с(a,b) и на каждом из отрезков запишем ф-лу Лагранжа конечных приращений, т.е. ƎѮ₁ϵ(x₁,x):f(x)-f(x₁)=f’(Ѯ₁)(x-x₁).

ƎѮ₂ϵ(x,x₂):f(x₂)-f(x)=f’(Ѯ₂)(x₂-x).

f'(Ѯ₁)= (*)

f’(Ѯ₂)=(**)

по условию f’(x) монот. убыв. на (a,b).

Тогда при Ѯ₁< Ѯ₂^f’(Ѯ₁)≥f’(Ѯ₂).

Тогда из (*) и (**) получаем : ≥, а это есть опред.(1) выпуклой ф-и.

Аналогично можно доказать вторую часть теоремы для вогнутой ф-и.

Теорема 2:

Пусть ф-я f(x) определена на [a,b] и удовлетв. след усл-ям:

1. f(x)ϵc’[a,b] (непрер. диффер.)

2. Ǝf’’(x) на (a,b)

Тогда f(x)–вогнутая на [a,b], если f’’(x)<0 на (a,b) и f(x)–вогнутая на [a,b], если f’’(x)>0 на (a,b).

Док-во: пусть f’’(x)<0 на (a,b).

Тогда (f’(x))’<0 => f’(x) монот. убыв. на (a,b). Тогда по теор.1 f(x) – выпуклая на [a,b].

Пусть f’’(x)>0 на (a,b).

Тогда (f’(x))’>0 => f’(x) монот. возраст. на (a,b). Тогда по теор.1 f(x) – вогнутая на [a,b].

________________________________________________________________________