УМК
.PDFединственность, так и существование решения задачи Коши. Из формулы (1.126) непосредственно видно также, что задача поставлена корректно – при любом конечном значении t малому изменению функций f (x) и соответствует малое изменение решения.
1.26 ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФОРМУЛЫ ДАЛАМБЕРА
Для того, чтобы выяснить физический смысл решения (1.126), запишем функцию u(x, t) в виде суммы двух слагаемых
u1 (x, t)= ϕ (x − at) и u 2 (x, t)= ψ (x + at),
где ϕ (x)= |
1 |
|
f (x)− |
1 |
|
x∫F(z)dz , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2a x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ψ (x)= |
1 |
f (x)+ |
1 |
x∫F(z)dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
2a x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
И выясним смысл |
u1 (x, t) |
и u 2 (x, t) в отдельности. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Начнем с функции |
u1 (x, t)= ϕ (x − at). Независимые переменные x и |
|||||||||||||||||||||
t изменяются так, что разность остается постоянной, |
т.е. |
x − at = C . В таком |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае dx − adt = 0 и |
dx |
= a . Отсюда можно |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
заключить следующее. Если точка x движется |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с постоянной скоростью a |
в положительном |
|||||||||||
|
t = t0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
направлении оси Ox , то смещение u1 струны в |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
x0 = at0 |
|
|
|
|
x |
этой точке во все время движения будет равно |
|||||||||||||||
|
|
|
|
ϕ (C), оставаясь, таким образом, постоянным. |
||||||||||||||||||
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другими |
словами, |
значение |
смещения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
t = t1 |
|
|
|
|
|
u |
1 |
= ϕ |
(x − at) в точке x |
1 |
в момент t |
1 |
такое |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = t 0 |
|
|
x 0 . |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
же, какое было в момент |
в точке |
||||||||||
x1 = at1 |
|
|
|
|
x |
Построим графики этой функции для |
||||||||||||||||
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возрастающих значений t : |
t = t 0 = 0 , |
t = t1, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t = t2 |
t |
= t 2 (рис. 1.4). Второй график |
( t = t1) будет |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сдвинут |
|
относительно |
первого |
( t = t 0 ) |
на |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
x2 = at2 |
|
x |
величину at1 , третий ( t = t 2 ) – на величину at 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
т.д. |
Если по очереди |
|
проектировать |
эти |
Рис. 1.4 |
рисунки на неподвижный экран, |
то зритель |
|
увидит, что график, изображенный на верхнем рисунке, «побежит» вправо. (Этот способ изображения движения положен, между прочим, в основу съемки мультипликационных фильмов).
Смещение, распространяющееся в фиксированном направлении с некоторой скоростью, называется бегущей волной. Бегущую волну,
распространяющуюся в направлении, выбранном за положительное, слева направо будем называть прямой волной.
Итак, прямая бегущая волна характеризуется решением u1 = ϕ (x − at).
Решению u 2 = ψ (x + at) будет соответствовать движение смещения
ψ (С), аналогичное указанному, но совершаемое влево. Это движение называют обратной бегущей волной.
Если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны.
Постоянное число a = |
T0 |
является скоростью распространения волн |
|
ρ |
|||
|
|
||
по струне. |
|
|
Таким образом, решение (1.126) задачи Коши для бесконечной струны есть сумма (суперпозиция) двух волн ϕ (x − at)+ ψ (x + at), одна из которых распространяется направо со скоростью a , а вторая – налево с той же скоростью. Это приводит к следующему графическому методу решения задачи о колебаниях бесконечной струны. Вычерчиваем кривые u1 = ϕ (x) и u 2 = ψ (x), изображающие прямую и обратную волны в начальный момент времени t = 0 , и затем, не изменяя их формы, передвигаем их одновременно со
скоростью a в разные стороны: u1 = ϕ (x) - вправо, u 2 = ψ (x) - влево. Чтобы получить график струны, достаточно построить алгебраические суммы ординат передвинутых кривых.
Формула (1.126) дает полное решение задачи. Исследуем эту формулу в
одном простом случае, когда |
отсутствуют начальные скорости, т.е. когда |
||||||||
F(x)= 0 . Из формулы (1.126) получаем |
|
|
|
||||||
|
|
u(x, t)= |
1 |
f (x − at)+ |
1 |
f (x + at). |
|
(1.127) |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
u |
|
|
|
Так как функция f (x) известна, то мы |
||||
|
|
|
|
|
можем вычислить u(x, t) для любых x и t . |
||||
|
|
|
|
|
Пусть, например, струна в начальный |
||||
|
u0 |
|
|
|
момент |
времени |
имеет |
форму |
|
|
|
|
|
|
равнобедренного треугольника на интервале |
||||
|
|
|
|
|
(− l;l ), |
вне этого интервала |
f (x)≡ 0 , а |
||
− l |
0 |
l |
|
x |
F(x)≡ 0 x (− ∞; ∞) |
(рис. |
1.5). Эти |
||
|
условия означают, что струна оттянута на |
||||||||
|
Рис. 1.5 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
участке (− l;l ) и в момент t = 0 |
без толчка |
отпущена. Покажем последовательные положения струны через промежутки
времени t = |
l |
. Согласно сказанному, |
колебания |
u(x, t) складываются из |
|||||||
2a |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
двух волн: прямой u1 |
= |
f (x + at) и |
обратной |
u 2 |
= |
f (x + at). Сначала |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
вычертим графики прямой и обратной волны, а затем проследим за геометрией профиля струны через указанные промежутки времени. В начальный момент t = 0 профили прямой и обратной волны совпадают (рис. 1.6), что следует из
формулы (1.127): u |
1 |
|
t=0 |
= u |
2 |
|
t=0 |
= |
1 |
f (x)= |
1 |
u |
0 |
, |
|
где u |
0 |
= u |
|
|
t=0 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
обратная волна |
|
|
|
форма струны |
|
|
|
|
|
|
прямая волна |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 |
|
|
a |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
t = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = t0 = 0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
t = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− l |
0 |
|
|
|
|
|
l |
x |
|
|
|
|
− l 0 |
|
|
|
l |
|
|
|
x |
|
|
|
|
− l 0 |
l |
x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 |
t = t1 |
= |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− |
3 |
l − l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
x |
|
|
− |
3 |
l − |
l |
|
|
l |
|
3 |
l |
x |
|
|
|
|
− l − |
l |
|
|
l |
|
3 |
l x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Передвинем теперь графики u1 |
и u 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
||||||||||||||||||||||||||||
|
вправо и влево на расстояние |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Тогда в результате сложения ординат этих графиков будем иметь форму u
струны в момент времени t |
= |
l |
|
(рис. 1.7) |
|
|
|
||
2a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u1 и |
u 2 еще раз на расстояние |
l |
||||||
Передвинем графики |
|
, в результате |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
l |
2 |
|
||
будем иметь форму струны в момент времени t = |
(рис. 1.8). |
||||||||
|
a
При дальнейшем перемещении графиков u1 и u 2 струна будет иметь форму, показанную на рис. 1.9, причем смещение u струны вдвое меньше, чем соответствующее смещение на участке AB .
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
|
t = t2 |
= |
l |
|
|
u0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 |
a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
t = |
l |
|
|
|
2 |
(x2 = l ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x − 2l − l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− 2l |
− l |
|
l |
|
|
|
l |
2l x |
|
− l |
|
l 2l x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
До |
тех |
пор, |
пока t < |
l |
, |
|
имеется |
участок |
струны, |
где волны |
||||||||||||
|
a
накладываются друг на друга, начиная с t = l , волны начинают расходиться. В a
каждой точке струны после прохождения обеих волн (а для точек, лежащих вне области начального возмущения, после прохождения только одной волны) наступает покой. Такой процесс может наблюдаться в очень длинной струне до тех пор, пока волны, бегущие по струне, не дойдут до ее концов.
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t > |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
u0 |
|
|
|
|
|
u0 |
|
|
|
a |
|
|
|
u0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
− |
l − |
3 |
l − |
l |
|
x − |
l − |
3 |
l − |
l |
|
|
l |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
l |
l |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
l |
l |
|
|
l |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
Рис. 1.9
1.27 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ
Метод решения задачи Коши для бесконечной струны легко применить к случаю полубесконечной струны. Пусть струна находится в состоянии покоя на положительной оси Ox и ее конец, совпадающий с началом координат, неподвижно закреплен. Тогда к уравнению колебаний струны
∂2 u |
= a |
2 |
∂2 u |
∂t 2 |
(1.128) |
||
|
|
∂x 2 |
и начальным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
t=0 |
= f (x), |
∂u |
|
|
= F(x), |
(1.129) |
||
|
|
|||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∂t |
|
t =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
заданным при x ≥ 0 , необходимо добавить еще одно граничное условие |
|
|||||||||
|
|
|
u |
|
x =0 |
= 0. |
|
(1.130) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условий (1.129), (1.130) следует, что f (0)= 0 .
Решение уравнения (1.128) при условиях (1.129), (1.130) может быть получено из формулы Даламбера (1.126) следующим образом. Допустим, что функции f (x) и F(x), определенные сначала только для x ≥ 0 , доопределены нами произвольным образом и для x < 0 . Напишем выражение u(0, t):
u(0, t)= |
f (− at)+ f (at) |
+ |
1 |
at∫F(z)dz . |
|
|
|||
2 |
|
2a −at |
||
Чтобы u(0, t) было равно нулю при всех значениях |
||||
f (x) и F(x) при x < 0 определить так: |
|
|
|
|
f (− x)= −f (x), |
F(− x)= −F(x), |
(1.131)
t , нужно функции
т.е. функции продолжить в область отрицательных значений нечетным образом. Тогда, очевидно, первое слагаемое формулы (1.131) равно нулю; второе слагаемое также обращается в нуль, потому что берется интеграл от нечетной функции в интервале, симметричном относительно начала координат. Продолжив таким образом функции f (x) и F(x) на всю числовую ось, напишем формулу Даламбера:
|
f (x − at)+ f (x + at) |
|
1 |
x+at |
|
|
u(x, t)= |
+ |
∫F(z)dz . |
(1.132) |
|||
|
|
|||||
2 |
|
2a x−at |
|
Теперь это выражение определено для всех точек x и t и при x ≥ 0 дает решение поставленной задачи. Действительно, функция (1.132) удовлетворяет уравнению (1.128), условиям (1.129) и, в силу доказанного, граничному условию (1.130).
1.28 МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений в частных
производных. Изложение этого метода мы проведем для задачи о свободных колебаниях струны, закрепленной на концах. Эта задача, как было показано в п. 1.24, сводится к решению однородного уравнения
|
|
|
|
|
∂2 u |
= a |
2 ∂2 u |
(1.132) |
|||||
|
|
|
|
|
∂t 2 |
|
∂x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при однородных граничных условиях |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
u |
|
x =0 = 0, |
|
u |
|
x=l = 0 |
(1.133) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и начальных условиях |
|
|
|
|
|
|
|||||||
u |
|
t=0 |
= f (x), ∂u |
|
|
= F(x), (0 ≤ x ≤ l). |
(1.134) |
||||||
|
|
||||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∂t |
|
|
t =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим две части метода Фурье. Первая часть заключается в отыскании частных решений уравнения (1.132), удовлетворяющих граничным условиям (1.133). Вторая часть - нахождение общего решения и удовлетворение начальным условиям (1.134).
Будем искать частные решения (1.132), не равные тождественно нулю, в виде произведения двух функций
u(x, t)= X(t)T(t), |
(1.135) |
удовлетворяющие граничным условиям (1.133).
Дифференцируя дважды выражение (1.135) по x и по t , получим u tt = T′′(t)X(x), u xx = X′′(x)T(t ).
Подставляя найденные производные в уравнение (1.132), получим
T ′′(t)X(x)= a 2 T(t)X ′′(x)
или, деля обе части равенства на a 2 XT , |
|
|
|
||||
|
1 T′′(t) |
|
X′′(x) |
||||
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
a 2 |
T(t) |
X(x) |
Последнее равенство, левая часть которого зависит от t , а правая - только от x , возможно лишь в том случае, когда обе части его не зависят ни от x ни от t , т.е. представляют собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через − λ (Знак числа λ будет обоснован ниже). Итак, имеем
1 T′′(t) |
|
X′′(t) |
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
= −λ . |
(1.136) |
a 2 |
T(t) |
X(t) |
Из равенства (1.136) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
|
|
T ′′(t)+ a 2 λT(t)= 0 , |
(1.137) |
|||
|
|
X′′(x)+ λX(x)= 0 . |
(1.138) |
|||
Таким образом, уравнение (1.132) |
распалось на два уравнения, из которых |
|||||
одно содержит функцию только от t , а другое |
- функцию только от x или, как |
|||||
говорят, в уравнении (1.132) переменные разделились. |
||||||
Поскольку мы ищем решения вида (1.135), удовлетворяющие граничным |
||||||
условиям (1.133), то при любом значении t должны соблюдаться равенства |
||||||
u |
|
x=0 = X(0)T(t)= 0, |
u |
|
x=l = X(l)T(t)= 0 . |
|
|
|
|||||
|
|
Если бы обращался в нуль второй сомножитель ( T(t)≡ 0 ), то функция u(x, t)
равнялась бы нулю при |
всех значениях x и |
t . Такой случай интереса не |
представляет. Поскольку |
мы ищем нетривиальные решения, т.е. не равные |
|
тождественно нулю, то мы должны считать, что |
|
|
|
X(0)= 0 и x(l)= 0 . |
(1.139) |
Для определения функции X(x) мы пришли к следующей краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения: найти такие значения параметра λ , при которых существуют нетривиальные решения уравнения
(1.138), удовлетворяющие граничным условиям (1.139). Эту задачу называют
задачей Штурма-Лиувилля.
Те значения параметра λ , при которых задача (1.138) - (1.139) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а сами эти решения - собственными функциями.
Найдем теперь собственные значения и собственные функции задачи (1.138) - (1.139). Нужно рассмотреть три случая, когда λ < 0 , λ = 0 и λ > 0 .
Уравнение (1.138) есть линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения надо составить характеристическое уравнение
k 2 + λ = 0 ;
отсюда k1,2 = ±− λ , следовательно, вид решения зависит от знака λ .
А. Пусть λ < 0 . Тогда корни характеристического уравнения действительны и различны и общее решение уравнения (1.138) имеет вид
X(x)= C1e −λx + C2 e−−λx .
Удовлетворяя граничным условиям (1.139), получим
C + C |
2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−λ l |
|
|
− |
−λ l |
|
|||
|
+ C |
2 e |
= 0. |
|||||
C1e |
|
|
|
|
|
|||
Так как определитель этой однородной системы |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
= e− −λ l − e −λ l ≠ 0 , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
e |
|
−λ l |
e− |
|
−λ l |
|||||||||||
|
|
|
единственное решение C1 = 0 и C2 = 0 . |
|||||||||||||
то, как известно, система имеет |
|
|
|
|||||||||||||
Следовательно, X(x) ≡ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в этом случае решений, отличных от нуля, не существует. |
||||||||||||||||
Б. Пусть λ = 0 . Тогда |
оба |
корня |
|
характеристического уравнения равны |
||||||||||||
нулю и |
|
|
|
X(x) = C1 + C2 x . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Граничные условия (1.139) дают: |
|
|
|
|
|
|
0 = 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
C + C |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 + C2 l = 0. |
Отсюда C1 = 0 , |
C2 |
= 0 и, следовательно, X(x) ≡ 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
В. |
|
|
Пусть |
λ > 0 . |
|
Корни |
|
|
характеристического |
уравнения мнимые |
|||||||||||||
( k1,2 = ± |
|
i ) и решение уравнения (1.138) имеет вид |
|
|
|
||||||||||||||||||
λ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X(x) = C1 cos |
|
|
|
x + C2 sin |
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ |
λ |
|
||||||||||||||
Удовлетворяя условиям (1.139), получим |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 1 + C2 0 = 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ l + C2 sin λ l = 0. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 cos |
|
|
||||||||||||
Из первого уравнения |
следует, |
|
что |
|
|
|
C1 = 0 , а |
из второго следует, что |
|||||||||||||||
|
|
l = 0 . |
Последнее равенство возможно, когда C2 |
≠ 0 , ибо в противном |
|||||||||||||||||||
C2 sin |
λ |
||||||||||||||||||||||
случае X(x) ≡ 0 . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = 0 , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
λ |
|
|
|
||||||||
|
|
= |
nπ |
, где n - любое целое число (n = 0, ± 1, ± 2,...). |
|||||||||||||||||||
откуда определяем |
λ |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, нетривиальные решения задачи (1.138) - (1.139) возможны лишь при значениях
|
nπ |
2 |
|
||
λ = λn |
= |
|
|
. |
(1.140) |
|
|||||
|
|
l |
|
|
Решение, отвечающее фиксированному |
значению |
n , обозначим через |
||||||||
X n (x). Оно имеет вид |
|
|
|
|
nπx |
|
|
|||
|
X n (x)= C2 sin |
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Для дальнейшего можем положить C2 |
= 1. |
|
|
l |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
nπ |
2 |
|
|||||
Итак, собственным |
значениям |
λn = |
|
|
|
соответствуют собственные |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
(x)= sin |
nπx |
, n =1, 2,... . |
(1.141) |
||||||
l |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что в соотношениях (1.140), (1.141) мы ограничились только положительными значениями для n , так как отрицательные значения n не дают новых решений.
Обратимся теперь к отысканию функций T(t). Каждому собственному
числу λn будет соответствовать |
свое решение уравнения (1.137), |
которое |
|||||||||||||||||||||
обозначим через Tn (t). Для функции Tn (t) имеем уравнение |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
′′(t)+ |
nπa |
2 T (t)= 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
l |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Общее решение этого уравнения имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
T (t)= a |
|
cos |
nπat |
+ b |
|
sin |
nπat |
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||||
где a n , b n |
- произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(x, t)= X |
|
(x)T (t)= |
|
|
|
|
|
nπat |
+ b |
|
|
|
nπat |
|
nπx |
|
|||||
u |
|
|
a |
|
cos |
|
|
|
sin |
|
|
sin |
|
, |
(1.142) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
l |
|
n |
|
|
l |
|
l |
|
n =1, 2,..., удовлетворяет уравнению (1.132) и граничным условиям (1.133) при
любых a n и b n .
Перейдем ко второй части метода Фурье.
При помощи собственных функций построим решения, удовлетворяющие начальным условиям (1.134).
Возьмем общее решение уравнения (1.142) в виде ряда
∞ |
∞ |
|
nπat |
|
|
nπat |
|
nπx |
|
||
u(x, t) = ∑ u n |
(x, t) = ∑ a n |
cos |
|
+ bn |
sin |
|
sin |
|
. |
(1.144) |
|
l |
l |
|
|||||||||
n=1 |
n =1 |
|
|
|
|
|
l |
|
|||
Если ряд (1.144) сходится равномерно в области |
|
0 ≤ x ≤ l , |
0 ≤ t ≤ T , то |
сумма его является непрерывной функцией в этой области. В силу однородности и линейности уравнения (1.132) ряд (1.144) будет также решением, если его можно почленно дифференцировать по X и по t . Действительно, при указанных условиях получим
|
|
− a 2 u |
|
∞ |
|
− a 2 u |
) = 0 , |
u |
tt |
xx |
= ∑ (u |
n tt |
|||
|
|
n=1 |
|
n xx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
так как функции u n (x, t) удовлетворяют уравнению (1.132).
Далее, поскольку каждое слагаемое в (1.144) удовлетворяет граничным условиям (1.133), то этим условиям будет удовлетворять и сумма ряда, т.е.
функция u(x, t). |
Остается определить постоянные a n и b n так, |
чтобы функция |
||||||||||
(1.144) удовлетворяла начальным условиям. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Продифференцируем ряд (1.144) по t : |
|
|
|
|
|
|||||||
∂u |
|
∞ |
nπa |
nπat |
|
|
nπat |
nπx |
|
|||
∂t |
= |
∑ |
|
− a n sin |
|
+ b n |
cos |
|
sin |
|
. |
(1.145) |
|
|
|
|
|||||||||
|
n =1 l |
l |
|
|
l |
l |
|
Подставляя t = 0 в (1.144) и (1.145), получим в силу начальных условий
(1.134):
∞ |
|
|
nπx |
|
= f (x) |
|
|
|||
∑ a n sin |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||||
n =1 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
nπx |
= F(x), |
|
|||
∑ |
nπa |
b n |
sin |
(1.146) |
||||||
|
|
|||||||||
n =1 |
l |
|
|
|
l |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ l |
|
Формулы (1.146) представляют собой разложение заданных функций f (x) и F(x) в ряд Фурье по синусам на интервале [0; l].
Из теории рядов Фурье известно, что всякая функция Φ(x), непрерывная на отрезке [0; l] вместе со своей производной первого порядка и удовлетворяющая условию Φ(0) = Φ(l) = 0 , разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по синусам: