УМК

так же как и само дифференциальное уравнение, должны вводиться на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение из всего множества решений единственного решения. Число граничных и начальных условий определяется типом уравнения, а их вид – заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляет собой математическую формулировку физической задачи и называется задачей математической физики.

Физическая задача решается по схеме:

1)реальный физический процесс (явление, объект) заменяется некоторым идеальным процессом (явлением, объектом) так, что последний значительно проще первого и вместе с тем сохраняет его основные черты (идеализация процесса);

2)выбирается величина (функция), характеризующая процесс, и используются законы, по которым он происходит;

3)на основании выбранных законов выводится дифференциальное уравнение для величины, характеризующей процесс;

4)выводятся дополнительные условия – начальные и граничные – также в

соответствии с выбранными законами.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво; последнее означает, что малые изменения любого из данных задачи вызывают малое изменение решения. Требование устойчивости необходимо по следующей причине. В данных любой конкретной задачи, особенно если они получены из опыта, всегда содержится некоторая погрешность, и нужно, чтобы малая погрешность в исходных данных приводила к малой неточности в решении. Это требование выражает физическую определенность поставленной задачи.

1.23 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Рассмотрим натянутую струну, закрепленную на концах. Если струну вывести из положения равновесия (например, оттянуть ее или ударить по ней), то струна начнет колебаться.

Будем рассматривать только поперечные колебания, т.е. такие, когда движение всех точек струны происходит в одной плоскости и в направлении,

Тогда получим, что T(x1 )≈ T(x2 ). Отсюда, ввиду произвольности x1 и x2 , следует, что величина натяжения не зависит от x . Таким образом, можно считать, что T ≈ T0 при всех значениях x и t .

Перейдем теперь к выводу уравнения колебания струны при сделанных допущениях (см. пп. А – Е).

Составим сумму проекций всех сил на ось Ou : сил натяжения, внешних сил и сил инерции.

Сумма проекций на ось Ou сил натяжения, действующих в точках M1 и

M2 , запишется в виде

Y = T(x 2 )sin α(x2 )− T(x1 )sin α(x1 )≈ T0 (sin α(x2 )− sin α(x1 )).

параллельно оси Ou и рассчитанную на единицу длины. Тогда проекция на ось Ou внешней силы, действующей на участок M1M2 , будет равна

Приравнивая к нулю сумму проекций всех сил (1.112), (1.113), (.114), получим

Если подынтегральная функция непрерывна, то из равенства нулю интеграла следует, что функция тождественно равна нулю в этой области. Предполагая существование и непрерывность вторых производных функции u(x, t), а также непрерывность функций ρ(x) и g(x, t), заключаем, что в силу

произвольности x1 и x2 , подынтегральная функция должна равняться нулю

Это и есть искомое уравнение колебаний струны.

Если струна однородная, т.е. ρ = const , то уравнение (1.116) обычно записывается в виде

Неоднородное уравнение (1.117) называется уравнением вынужденных колебаний струны; если f (x, t) ≡ 0 , т.е. внешняя сила отсутствует, то

уравнение (1.117) становится однородным:

Уравнение (1.118) описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Уравнение (1.117) – одно из простейших уравнений гиперболического типа и в то же время одно из важнейших дифференциальных уравнений

математической физики. К нему сводится не только рассмотренная задача, но и многие другие.

1.24 ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

Одного уравнения движения (1.116) при математическом описании физического процесса недостаточно. Надо сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Сформулируем дополнительные условия для струны с закрепленными

Условия (1.119) называются граничными условиями; они показывают, что происходит на концах струны на протяжении процесса колебания.

Очевидно, процесс колебаний будет зависеть от того, каким способом струна выводится из состояния равновесия. Удобнее считать, что струна начала колебаться в момент времени t = 0 . В начальный момент времени (t = 0) всем точкам струны сообщаются некоторые смещения и скорости:

где f (x) и F(x) - заданные функции.

Условия (1.120) называются начальными условиями.

Итак, физическая задача о колебаниях струны свелась к следующей математической задаче: найти такое решение уравнения (1.116) (или (1.117) или (1.118)), которое удовлетворяло бы граничным условиям (1.119) и начальным условиям (1.120). Эта задача называется смешанной краевой задачей, так как включает в себя и граничные и начальные условия. Доказано, что при некоторых ограничениях, наложенных на функции f (x) и F(x), смешанная задача имеет единственное решение.

Оказывается, что к задаче (1.116), (1.119), (1.120), помимо задачи о колебаниях струны, сводятся многие другие физические задачи: продольные колебания упругого стержня, крутильные колебания вала, колебания жидкостей и газа в трубе и др.

Помимо граничных условий (1.119) возможны граничные условия других типов. Наиболее распространенными являются следующие:

где ω1(t), ω2 (t) - известные функции, а h1 , h 2 - известные постоянные.

Приведенные граничные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, если концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, если к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенств, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (1.119)

– однородные.

Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

Для уравнения (1.116) может быть поставлена и другая задача. Пусть струна достаточно длинная и нас интересует колебание ее точек, достаточно удаленных от концов, причем в течение малого промежутка времени. В этом случае режим на концах не будет оказывать существенного влияния и поэтому его не учитывают; струну же при этом считают бесконечной. Вместо полной задачи ставят предельную задачу с начальными условиями для неограниченной

Эту задачу называют задачей Коши.

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то мы приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой 0 ≤ x < ∞ . В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I-III при x = 0 .

1.25 КОЛЕБАНИЯ ОДНОРОДНОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ. ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА

Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с более простой задачи – задачи о свободных колебаниях однородной бесконечной струны. Это задача, как было показано в п. 1.24, сводится к решению уравнения

где функции f (x) и F(x) заданы на всей числовой оси. Никакие граничные условия на искомую функцию u(x, t) не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Для решения поставленной задачи преобразуем уравнение (1.121) к каноническому виду, содержащему смешанную производную (см. (1.93)). Для чего составим уравнение характеристик

(dx)2 − a 2 (dt)2 = 0 ,

которое распадается на два уравнения:

dx − adt = 0 и dx + adt = 0 .

Интегрируя эти уравнения, получим

x − at = C1 и x + at = C2 .

Согласно общей теории о замене переменных полагаем

ξ = x − at , η = x + at .

Тогда уравнение (1.121) преобразуется к виду

∂2 u = 0 . ∂ξ∂η

Как было показано в п.1.18 (см. формулу (1.87)), общее решение такого

уравнения имеет вид

u(ξ, η) = ϕ(ξ) + ψ(η),

где ϕ(ξ) и ψ(η) - произвольные функции. Возвращаясь к старым переменным

Определим функции ϕ и ψ таким образом, чтобы удовлетворялись

начальные условия (1.122)

u(x,0) = ϕ(x) + ψ(x) = f (x),

Таким образом, мы определили функции ϕ и ψ через заданные функции f (x) и F(x), причем равенства (1.124) и (1.125) имеют место для любого значения x(− ∞ < x < ∞). Заменяя аргумент x в (1.124) на x − at , а в (1.125) на

Формулу (1.126) называют формулой Даламбера.

Нетрудно проверить непосредственным дифференцированием, что полученное выражение для u(x, t) есть решение для волнового уравнения (1.121), удовлетворяющее начальным условиям (1.122). Для этого достаточно предположить, что функция F(x) дифференцируема, а функция f (x) - дважды дифференцируема. Способ вывода формулы (1.126) доказывает как