УМК

Из первых (n-1) уравнений системы (1.66) выразим функции y2,y3,…,y n через x,

Найденные значения y2,y3,…,y n подставим в последнее уравнение системы (1.67). Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой функции y1:

y1′, y1′′,..., y1(n −1) в уравнения системы (1.67), найдем функции y2 , y3 ,..., yn :

Для простоты рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями y1,y2,y3:

где aij (i, j = 1,2,3)- постоянные коэффициенты.

Будем искать частное решение системы (1.73) в виде

где α, β, γ, k - постоянные, которые надо подобрать так, чтобы функции (1.74) удовлетворяли системе (1.73).

Подставив эти функции в систему (1.73) и сократив на множитель ekx ≠ 0 , получаем:

или

Система (1.75) – однородная система линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными α, β, γ имеет ненулевые решения тогда и только тогда,

когда определитель системы равен нулю:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.39 Уравнение (1.76) называется характеристическим уравнением системы (1.73).

Уравнение (1.76) является уравнением третьей степени относительно k. Рассмотрим возможные случаи.

СЛУЧАЙ 1. Корни (1.76) действительные и различные k1 ≠ k 2 ≠ k3 . Для

СЛУЧАЙ 2. Характеристическое уравнение (1.76) имеет корень k кратности m (m=2;3). Решение системы, соответствующее кратному корню, ищем в виде:

а) если m=2, то y1 = (A + Bx)ekx , y2 = (C + Dx)ekx , y3 = (E + Fx)ekx ;

Пусть α2 = 1, тогда β2 = −2.Тогда корню k2=3 соответствуют частные решения:

чертеж, обозначают искомую кривую через y=y(x) и выражают все входящие в задачу величины через x,y, и y′. При этом обычно используется геометрический

смысл производной ( y′(x0 ) есть угловой коэффициент касательной к кривой

y=y(x) в точке x0). Затем, используя указанную в условии зависимость между этими величинами, получают ДУ f(x, y, y′) = 0 , из которого находят искомую

функцию y(x).

Опыт решения физических, механических и инженерно – технических задач показывает, что процесс их решения включает общие моменты, что позволяет привести общую схему составления ДУ по условиям прикладных задач:

1.По возможности составить чертеж, поясняющий суть поставленной

задачи.

2.Установить, какая из переменных является функцией, какая – её аргументом. Например, y=y(x).

3. Для определения приращения функции y задать аргументу приращение

x.

4.Исследовать конкретный смысл производной искомой функции.

5.Установить, каким законам (механики, физики и др.) подчиняется течение изучаемого процесса.

6.Найти соотношение между дифференциалом dy искомой функции, дифференциалом dx и самим аргументом x. При этом можно делать упрощающие допущения, например, заменить криволинейный элемент прямолинейным, неравномерное движение точки за малый промежуток времени – равномерным.

Следует помнить при этом, что замена одних бесконечно малых другими требует обязательного соблюдения эквивалентности заменяющего и заменяемого бесконечно малых элементов.

7.Выделить в постановке задачи те условия, согласно которым нужно решить полученное ДУ (например, начальные и граничные условия).

8.Определить, по мере необходимости, вспомогательные параметры (например, коэффициент пропорциональности) на основании дополнительных данных в условии задачи.

Приведенная схема может быть сокращена или расширена в процессе решения конкретных задач физики, механики, химии, теплотехники, теории упругости, экономики.

Решение таких задач подробно рассмотрено в следующем разделе.

1.17 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Многие задачи механики и физики могут быть сведены к дифференциальным уравнениям в частных производных. Математическими моделями реальных процессов являются краевые задачи для дифференциальных уравнений при определенных граничных и начальных условиях. При этом оказывается, что одно и то же уравнение может описывать совершенно различные по своей природе явления и процессы. Поэтому при исследовании довольно широкого круга задач механики и физики требуется сравнительно небольшое число различных видов дифференциальных уравнений. Изучением таких уравнений, методами их решения занимается раздел математики «Уравнения математической физики».

В нашем курсе мы будем заниматься уравнениями второго порядка. С помощью этих уравнений можно исследовать в первом приближении основные физические процессы: колебания, теплопроводность, диффузию, течение жидкостей и газа, электростатические явления.

Для решения своих проблем теория «Уравнений математической физики» использует различный математический аппарат: ряды Фурье, интегралы Фурье, интегральные преобразования (Лапласа, Фурье), функции комплексного переменного и др.

Специфическим для уравнений математической физики является то, что здесь постановка задач для уравнений в частных производных делается исходя из физических соображений. Процесс получения решения этих задач основывается на математических методах, но в каждом конкретном случае само решение той или иной задачи должно иметь определенную физическую интерпретацию.

1.18 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.40 Уравнение, связывающее неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные, называется

дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок высшей частной производной, входящей в уравнение, определяет

k1 + k2 + ... + kn = k .

Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух, трех, четырех переменных.

Общий вид уравнений первого и второго порядков для функции u = u(x, y) двух переменных соответственно таков:

которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.

Познакомимся (без доказательства) с простейшими свойствами уравнений в частных производных на примерах некоторых их видов для функции двух переменных.

поскольку, дифференцируя ϕ(y) по x , мы получим нуль, а это значит, что равенство (1.82) выполняется. Следовательно, решение (1.83) содержит одну произвольную функцию ϕ(y). В этом и заключается коренное отличие решения

уравнения в частных производных первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения того же порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (1.83), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1.82).

Рассмотрим уравнение

где ψ(x) - произвольная функция от x . Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (1.85) по y . Найденное решение данного уравнения зависит от одной произвольной функции (ψ(x)), т.е. является общим.

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка

уравнение (1.86) перепишем так:

∂u = f (y).

∂y

Согласно (1.85) его общим решением будет функция u(x, y)= ∫f (y)dy + ψ(x).

Так как f (y) - произвольная функция, то интеграл от нее будет также произвольной функцией y , которую обозначим через j(y). В результате решение принимает вид

где y(x), j(y) - произвольные дифференцируемые функции. Легко проверить,

что функция вида (1.87) удовлетворяет уравнению (1.86).

Итак, решение (1.87) уравнения (1.86) второго порядка содержит уже две произвольные функции. Такое решение называется общим.

Приведенные уравнения дают основание сделать заключение: общее решение уравнения первого порядка в частных производных содержит одну произвольную функцию, а общее решение уравнения второго порядка – две произвольные функции.

Позже будет выяснено, какие дополнительные условия надо задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т.е. функцию, удовлетворяющую как уравнению, так и дополнительным условиям.

1.19 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА И СВОЙСТВА ИХ РЕШЕНИЙ

Многие задачи физики, механики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка, причем линейных относительно искомой функции и ее частных производных.

Общий вид линейного дифференциального уравнения второго

некоторой области G переменных x и y , причем A, B, C имеют непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно.

Чаще всего коэффициенты перед искомой функцией u(x, y) и ее производными – числа.

Если в уравнении (1.88) f (x, y)º 0 , то уравнение называется однородным; если f (x, y)¹ 0 , то уравнение называется неоднородным.

Обсудим особенность решений однородного уравнения