УМК

где с − скорость распространения волны в данной среде, называется волно- вым уравнением. В приведенном уравнении x, y, z обозначают декартовы ко-

ординаты точки, t − время.

Для двумерного пространства (плоский случай) волновое уравнение имеет вид

Волновое уравнение описывает процессы распространения упругих, звуковых, световых, электромагнитных волн, а также другие колебательные явления. Например, волновое уравнение может описать:

а) малые поперечные колебания струны (при этом под U = U(x, t) по-

нимают поперечное отклонение точки x струны от положения равновесия в момент времени t );

б) продольные колебания упругого стержня ( U − продольное отклонение частицы от ее положения при отсутствии деформации);

в) малые упругие колебания плоской пластины, мембраны; г) течение жидкости или газа в коротких трубах, когда трением о стенки

трубы можно пренебречь ( U − давление или расход). Уравнение вида

называется телеграфным уравнением. Оно описывает электрические колебания в проводах ( U − сила тока или напряжение), неустановившееся течение жидкости или газа в трубах ( U − давление или скорость).

Волновое и телеграфное уравнения входят в группу уравнений гиперболического типа.

2. Уравнение теплопроводности

Уравнение

где a − параметр, учитывающий физические свойства изучаемой среды, назы-

вается уравнением теплопроводности.

Оно имеет вид для плоского случая

для одномерного

Уравнением теплопроводности описываются процессы нестационарного массо- и теплообмена. В частности, к этим уравнениям приводят задачи о неус-

тановившемся режиме распределения тепла (при этом а2 означает коэффициент температуропроводности, а U − температуру в любой точек исследуемой области в любой момент времени t ), о фильтрации упругой жидкости в упру-

гой пористой среде, например, нефти и газа в подземных песчаниках ( a 2 = χ − коэффициент пьезопроводности, U − давление в любой точке среды), о неус-

тановившейся диффузии ( a 2 = D − коэффициент диффузии, U − концентрация), о течении жидкости в магистральных трубопроводах ( U − давление или скорость жидкости).

Если при рассмотрении этих задач окажется, что в исследуемой области функционируют внутренние источники и стоки массы или тепла, то процесс описывается неоднородным уравнением

где функция f (x, y, z, t) характеризует интенсивность функционирующих ис-

точников.

Уравнения (2.63) – (2.66) являются простейшими уравнениями параболического типа.

3. Уравнения Лапласа и Пуассона

Уравнение

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называ-

ются нестационарными или динамическими задачами математической фи-

зики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются

стационарными или статическими.

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящие от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия – это условия заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия – это условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия, так же как и само дифференциальное уравнение, выводятся на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений. Число граничных и начальных условий определяются типом уравнения, а их вид – заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляют собой математическую формулировку физической задачи, и на-

зывается задачей математической физики.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно

иустойчиво.

2.19КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

струны), F − сила, действующая на струну перпендикулярно оси 0Х и рассчи- х танная на единицу длины.

описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий. Уравнение (2.69) является простейшим уравнением гиперболического ти-

па и в то же время одним из важнейших уравнений матфизики.

Одного уравнения движения (2.69) или (2.70) при математическом описании физического процесса недостаточно. При рассмотрении задачи о колебании

струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

Граничные условия определяются поддерживаемым на концах струны режимом на протяжении процесса колебания. Так, если концы струны длины l

Будем говорить о трех типах граничных условий:

где µ1 (t), µ2 (t), ν1 (t), ν2 (t), ω1 (t), ω2 (t)− известные функции, h1 и h 2 − известные постоянные.

Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, когда концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, когда к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (2.72) – однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

В том случае, когда режим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной. В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу – з а д а ч у К о ш и: найти решение уравнения (2.69) для − ∞ < x < ∞ при t > 0 , удовлетворяющее начальным условиям

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении ин-

тересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой 0 ≤ x < ∞. В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I - III при x = 0 .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины l совершает малые поперечные колебания. Поставить задача об определении отклонений U(x, t) точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент t = 0 струна имела форму ϕ(x) ( 0 ≤ x ≤ l ) и скорость каждой ее точки задается функцией ψ(x). Рассмотреть случаи:

а) концы струны закреплены; б) концы струны свободны;

в) к концам струны x = 0 и x = l , начиная с момента t = 0 , приложены поперечные силы F(t) и Φ(t) соответственно;

г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца.

Решение. Как известно, отклонения U(x, t) точек струны от положения

равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравнению свободных колебаний (2.70)

Займемся выводом граничных условий.

СЛУЧАЙ а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения U(x, t) в точках x = 0 и x = l должны быть равными нулю при любом t , т.е.

U x =0 = 0 , U x =l = 0, t > 0 .

Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию U(x, t), определенную при 0 < x < l и t > 0 , являющуюся решением уравнения

и удовлетворяющую граничным условиям

U x =0 = 0 , U x =l = 0

и начальным условиям

удовлетворяющее граничным условиям II рода

и начальным условиям

СЛУЧАЙ г). При упругом закреплении концов каждый конец испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца, т.е.

F(t) = −k U(0, t), Φ(t) = −k U(l, t),

где k - коэффициент жесткости упругого крепления концов струны. Тогда из граничных условий в случае в) получим

Математическая формулировка задачи: найти решение уравнения

удовлетворяющее граничным условиям III рода

2.20 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК (МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА)

Одним из широко используемых способов решения уравнений колебаний струны является метод характеристик, называемый методом Даламбера. В основе его лежит тот факт, что с помощью замены ξ = x + at , η = x - at уравне-