УМК

(1.222) нужно прибавить решение однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием u t=0 = ϕ(x) и граничными условиями (1.214),

которое получено в п.1.33.1А.

1.33.2Б Общая первая краевая задача

Наконец рассмотрим общую первую краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности, т.е. тот случай, когда начальное и граничные условия неоднородные:

найти решение уравнения (1.183)

Ищем частные решения уравнения (1.232) в виде произведения двух функций одной переменной

последующих выкладок µ = λ2 . В выражении (1.237) положим C = 1. Тогда

T(t) = e−λ2a 2t .

Как известно, для линейного уравнения (1.236) общее решение имеет вид

X(x) = A cos λx + Bsin λx .

Так как граничные условия отсутствуют, то параметр λ остается совершенно произвольным. Произвольные постоянные A и B для каждого λ имеют определенные значения. Поэтому A и B можно считать функциями от λ . Согласно (1.234) каждому значению λ соответствует частное решение

В равенстве (1.241) нетрудно усмотреть сходство с рядом Фурье для функции f (x), а в выражениях (1.242) – сходство с коэффициентами Фурье.

Сравнивая равенства (1.240) и (1.241), получаем выражения

в предположении, что заданная функция ϕ(x)непрерывна и абсолютно интегрируема.

Найдя таким образом коэффициенты А(λ) и B(λ) по формулам (1.243) и подставив их в интеграл (1.240), получим

Учитывая, что выражение в круглых скобках есть косинус разности, приходим к следующему представлению:

Последний интеграл можно еще преобразовать, изменив порядок интегрирования:

По существу задача решена. Построенная функция u(x, t) есть решение данного уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию. Можно только преобразовать полученное выражение к более удобному виду, который позволит придать физический смысл решению задачи теплопроводности в бесконечном стержне.

Займемся вычислением внутреннего интеграла; положим в нем aλt = z ,

Заметим, что полученный интеграл (1.246), называемый интегралом Пуассона, довольно труден для вычисления: он не берется в элементарных функциях. Однако задача считается решенной, если удается выразить этот интеграл через табулированную функцию Erf , известную в теории вероятностей под названием интеграла ошибок.

Функцию

G(x, ξ, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности и начальному условию, в чем нетрудно убедиться. Она имеет определенный физический смысл.

Пусть начальное распределение температуры в стержне задано функцией

(см. рис. 1.11). Это так называемый физический тепловой импульс. Такое начальное распределение можно истолковать следующим образом: до момента t = 0 весь стержень находился при нулевой температуре и в момент t = 0 малому интервалу (x 0 − δ; x 0 + δ), т.е. элементу длины 2δ стержня, сообщили некоторое количество тепла Q0 = 2δρcu (здесь ρ - плотность материала стержня, c - его теплоемкость, 2δρ - масса выделенного участка), которое вызвало мгновенное повышение температуры на этом участке на величину u0 .

Практически температура, конечно, не может представляться разрывной функцией ϕδ (x), но график температуры (он будет иметь примерно вид пунктирной линии) тем меньше отличается от графика ϕδ (x), чем резче и кратковременнее будет подогрев.

При таком тепловом импульсе решение (1.247) задачи теплопроводности будет иметь вид

т.е. в фундаментальное решение (1.247) при значении параметра ξ = x 0 .

Следовательно, точечный источник тепла с количеством тепла Q0 = cρ,

действовавший в точке x 0 в момент t = 0 , передаст в точку x к моменту t такое количество тепла, что температура в этой точке становится равной фундаментальному решению G(x, x 0 , t) уравнения теплопроводности.

Применим теперь физический смысл фундаментального решения к физическому толкованию решения (1.246). Для того чтобы придать сечению x = ξ стержня температуру ϕ(ξ) в начальный момент, надо распределить на малом элементе dξ около этой точки количество тепла dQ = cρϕ(ξ)dξ или, что то же самое, поместить в точке ξ мгновенный точечный источник тепла мощности dQ . Тогда, согласно (1.249), распределение температуры, вызываемое этим тепловым импульсом, будет таково: