Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2911 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

где ρ = f . a 2

3. Установившийся поток тепла без тепловыделения. В этом случае

∂u = 0 и f = 0 , поэтому распределение температуры подчиняется уравнению

∂t

Лапласа:
u = 0 .	(1.188)

С помощью уравнения (1.188) можно ответить на вопрос: каково должно быть распределение температуры u = u(x, y, z) внутри тела, чтобы дальнейшего теплообмена не происходило. Поясним: последнее возможно, если на границе области поддерживать постоянную температуру (различную в различных точках границы). Но это уже связано с вопросом о граничных и начальных условиях, к которому мы и переходим.

1.32 НАЧАЛЬНОЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ, ИХ ФИЗИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного уравнения (1.185). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).

Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени.

Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода.

Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения теплопроводности.

Начальное условие состоит в задании функции u = u(x, t) в начальный момент времени (t = 0):

u(x,0)= u	t=0 = ϕ(x ).	(1.189)

Выведем граничные условия в случаях I – III.

1. На концах стержня (или на одном конце) задается температура

	u	x =0 = µ1 (t),	u	x =l = µ2 (t),	(1.190)


где µ1 (t),	µ2 (t) - функции, заданные в некотором промежутке t 0				≤ t ≤ T ,
причем T есть промежуток времени, в течении которого изучается процесс. В
частности,	µ1 (t) = u1 = const ,			µ2 (t) = u 2 = const , т.е. на	концах

поддерживается постоянная температура u1 и u 2 .

2. На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения x = 0

∂u		= ν1	(t).	(1.191)

∂x	x=0

Дадим физическое толкование этому условию. Пусть q1 (t) - величина теплового потока, т.е. количество тепла, протекающего через торцевое сечение x = 0 в единицу времени. Тогда уравнение теплового баланса для элемента

стержня (0;	x)	в период времени t 2 − t1 = t , как и при выводе уравнения
(1.183) запишется в виде
		q1 (t) t + k ∂u( x, t)S t = cρS x ∂u		t .
		∂x	∂t		q1 (t)
Сократив на	t	и перейдя к пределу при	x → 0 , получим u′ (0, t ) = −		q1 (t)	.
Сократив на	t	и перейдя к пределу при	x → 0 , получим u′ (0, t ) = −			.
				x	k S
				x

Таким образом, имеем условие (1.192), в котором ν1 (t) - известная функция,

выражающаяся через заданный поток тепла q1

(t) по формуле ν1 (t) = −

q1 (t)

k S

Аналогично для сечения x = l , через которое протекает количество тепла

q 2 (t), найдем

∂u

(t)

Следовательно, условие ∂u

∂x

x=l

k S

∂u

= ν1 (t)

или

= ν2 (t) имеет место в

∂x

x=0

∂x

x=l

случае, когда на соответствующем конце стержня задан тепловой поток, втекающий или вытекающий. В частности, если концевое сечение

теплоизолировано, то q1 (t) = 0 или			q 2 (t) = 0 , и следовательно,
∂u		= 0	или	∂u		= 0 .

∂x	x=0			∂x	x=l

3. На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения x = l

	∂u		= ν3 (t).	(1.192)

u + h
	∂x	x=l

Условие типа (1.192) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура θ которой известна, пропорционально разности температур

поверхности тела и окружающей среды:

q = α(u − θ),

где α - коэффициент теплообмена (или внешней теплопроводности).

Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в силу закона сохранения энергии. Согласно закону Ньютона тепловой поток q(t), вытекающий через сечение

x = l , равен

q(t) = α(u(l, t) − θ(t)).

С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье

	q(t) = −k ∂u		.

	∂x	x=l

Приравнивая правые части этих выражений, найдем
∂u(l, t) = − α (u(l, t) − θ(t)).
∂x	k
Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде
∂u(l, t) + hu(l, t) = ν3 (t),
∂x
в котором положено h = α , ν3 (t) = hθ(t).
k
Заметим, что граничные	условия, наложенные на значения функции

u(x, t), называют условиями первого рода. Граничные условия, наложенные на значение производной u′x (x, t), называют условиями второго рода. А условия,

наложенные как на значение функции u(x, t), так и на значение производной u′x (x, t), называют условиями третьего рода.

В случае граничных условий вида (1.190), (1.191), (1.192) говорят соответственно о первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (1.189).

Так, первая краевая задача состоит в отыскании решения u = u(x, t) уравнения

u′	= a 2 u ′′	+ f (x, t)	при	0 < x < l, 0 < t ≤ T ,
t	xx
удовлетворяющего условиям
		u(x,0) = ϕ(x),		0 ≤ x ≤ l,

u(0, t) = µ1 (t), u(l, t) = µ2 (t), 0 ≤ t ≤ T .

Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями граничных условий при x = 0 и x = l.

Кроме названных задач довольно часто встречаются предельные случаи – вырождения основных краевых задач. Одним из таких случаев является задача Коши, которая состоит в отыскании решения u(x, t) в неограниченной области, удовлетворяющего только начальному условию.

Если процесс теплопроводности изучается в очень длинном стержне, таком что влияние температурного режима, заданного на границе, в центральной части стержня оказывается весьма слабым в течение небольшого промежутка времени и определяется в основном лишь начальным распределением температуры, то тогда считают, что стержень имеет бесконечную длину и ставят задачу Коши.

ЗАДАЧА КОШИ для «бесконечного» стержня (идеализация достаточно длинного стержня) математически формулируется так: найти решение u = u(x, t) уравнения теплопроводности в области − ∞ < x < ∞ ,

t ≥ 0 , удовлетворяющее начальному условию

u t=0 = ϕ(x ) (− ∞ < x < ∞),

где ϕ(x) - заданная функция.

Если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальным условием. При этом стержень считают полубесконечным. Приведем

вкачестве примера формулировку первой краевой задачи для

«полубесконечного» стержня: найти			решение u = u(x, t) уравнения
теплопроводности в области 0 < x < ∞ , t ≥ 0 , удовлетворяющее условиям
u	t=0 = ϕ(x ), (0 < x < ∞),

	u	x=0 = µ(t),	t ≥ 0 ,


где ϕ(x) и µ(t) - заданные функции.

Для уравнения (1.185) теплопроводности в пространстве V , ограниченном поверхностьюS , начальное условие записывают в виде

					u(x, y, z, 0) = ϕ(x, y, z),
а на границе				S области V функция u = u(x, y, z, t) должна удовлетворять
одному из условий:
1)	u(x, y, z, t)				S = f1 (M, t) (граничное условие 1-го рода);


2)	∂u			= f 2 (M, t) (граничное условие 2-го рода);

	∂		S
		n

f1 , f2

где n - внешняя нормаль к поверхности S ; в частности, если поверхность S

теплоизолирована, то	∂u
			= 0 ;
	∂
		n	S

∂u

3)	∂		+ hu
		n		S

= f3 (M, t) (граничное условие 3-го рода).

Здесь M(x, y, z) - текущая точка поверхности S .

Если распределение температуры внутри тела стационарно, то для однозначного определения функции u(x, y, z) не надо задавать начальное условие, т.к. в начальный и во все последующие моменты времени распределение температуры одно и то же, а достаточно знать лишь тепловой ражим на границе S тела. Разыскание закона стационарного распределения температуры сводится к решению уравнения Пуассона (1.187) или уравнения Лапласа (1.188) по одному из граничных условий, в которых функции и f3 не зависят от t . Задача для уравнений Пуассона и Лапласа с граничным

условием	u(x, y, z)	S = f1 (x, y, z) называется задачей Дирихле, а с условием

∂u(x, y, z)
	= f2 (x, y, z) - задачей Неймана.


∂n
	S

Доказано, что решение каждой из одномерных краевых задач первой, второй и третьей единственно в классе функций, непрерывно дифференцируемых в области x1 ≤ x ≤ x 2 , t ≥ 0 . Для трехмерных и двумерных краевых задач решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условиям применимости соответственно формулы Остроградского и формулы Грина. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе функций, ограниченных во всем пространстве, единственно и устойчиво.

1.33 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ФУРЬЕ

Проведем решение общей первой краевой задачи методом Фурье. Этот метод был рассмотрен достаточно подробно при решении краевых задач для гиперболических уравнений. Схема применения его к уравнениям параболического типа остается прежней. Интересующее нас решение будет получено на основе решений вспомогательных задач – частных случаев указанной задачи.

1.33.1. Однородное уравнение теплопроводности

Пусть однородный стержень длины l теплоизолирован по всей длине, причем в нем нет источников тепла. На концах этого стержня поддерживается постоянная или меняющаяся с течением времени температура. Начальное распределение температуры в стержне известно.

1.33.1А. Распространение тепла в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре

Задача состоит в отыскании решения однородного уравнения


теплопроводности
	∂u = a 2 ∂2 u				(1.193)
	∂t		∂x 2
при граничных условиях
u	x =0 = 0 ,		u	x =l = 0	(1.194)
					(1.194)

и начальном условии
	u	t=0 = ϕ(x ).			(1.195)
					(1.195)

Для непрерывности u(x, t)			в точках		(0;0) и (l,0) необходимо
потребовать, чтобы
	ϕ(0) = ϕ(l) = 0.				(1.196)

Согласно методу Фурье ищем частные решения уравнения (1.193), удовлетворяющие граничным условиям (1.194), в виде

u(x, t) = X(x)T(t).

(1.197)

Подставляя (1.197) в (1.193), имеем

X(x)T′(t) = a 2T(t)X ′′(x).

Разделение переменных дает			X′′(x)
	T′(t)	=		= −λ ,	λ = const ,
	a 2T(t)		X(x)

откуда получаем два уравнения:

T′(t) + a 2 λT(t) = 0 ,	(1.198)
X′′(x) + λX(x) = 0 .	(1.199)
Из граничных условий (1.194) имеем
X(0) = 0 , X(l) = 0 .	(1.200)

Чтобы получить нетривиальное решение уравнения (1.193) вида (1.197), необходимо найти нетривиальное решение уравнения (1.199), удовлетворяющее условиям (1.200). Таким образом, для определения функций X(x) мы пришли к задаче Штурма – Лиувилля (задаче о собственных значениях), которая исследовалась в задаче о свободных колебаниях ограниченной струны (п.1.28). Там было установлено, что для значений параметра λ , равных

	nπ		2
λn	=		(n = 1, 2, 3,...),

		l

существуют нетривиальные решения задачи (1.199) – (1.200):

X n (x) = sin nπx . l

Подставляя значения λ = λn в (1.198), получим уравнение

	nπa			2
T′(t) +			T(t)				= 0 ,
T′(t) +			T(t)				= 0 ,
	l
общее решение которого есть
					nπa		2
	(t) = a			−			t
				−			t
T		n	e			l	,
n		n

где a n - произвольные постоянные.

Таким образом, уравнению (1.196) и граничным условиям удовлетворяют функции

nπa		2
−		t

u n (x, t ) = a n e	l	sin	nπx	, n = 1, 2, ...

			l

(1.201)

(1.197)

при любых a n . Мы получили множество решений, сумма которых также будет решением уравнения (1.193) (в силу его линейности), удовлетворяющим условию (3.15). Составим формально ряд

				nπa		2
u(x, t) =	∞	(x, t) =	∞	−		t
	∞		∞	−		t
	∑ u n		∑ a n e		l
	n =1		n =1

sin	nπx	.	(1.202)

Функция u(x, t) в виде (1.202) удовлетворяет граничным условиям, т.к. им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начального условия

(1.195), получаем

∞		nπx
u(x,0) = ϕ(x) = ∑ a n	sin		.

n=1		l

Написанный ряд представляет собой разложение заданной функции ϕ(x) в ряд Фурье по синусам в промежутке (0; l). Коэффициенты a n определяются по известной формуле

a n =	2	∫l ϕ(x)sin		nπx	dx .

	l	0		l
Итак, решением задачи (1.193) – (1.195)
представленная рядом (1.202),			коэффициенты
формулам (1.203).

(1.203)

является функция u(x, t), которого определяются по

1.33.1Б. Распространение тепла в стержне, на концах которого поддерживается меняющаяся с течением времени температура

Задача сводится к решению уравнения (1.193) при граничных условиях


u	x =0 = µ1 (t), u		x =l = µ2 (t),	(1.204)
				(1.204)

и начальном условии
	u	t=0 = ϕ(x ),		(1.205)
				(1.205)

где µ1 (t), µ2 (t), ϕ(x) - заданные функции. Будем искать решение этой задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям (1.201)

∞		nπx
u(x, t) = ∑ T	(t)sin	nπx	,	(1.206)
u(x, t) = ∑ T	(t)sin		,	(1.206)
n		l
n=1		l

где

(t) =

l u(x, t)sin

nπx

dx ,

(1.207)

∫

l 0

считая при этом t параметром. Возьмем этот интеграл по частям дважды:

= u(x, t)

= sin

nπx

Tn (t) =

∂u dx

= −

cos

nπx

nπ

∂x

u(x, t )cos

nπx

∂u cos

nπx

−

nπ 0∫

nπ

∂x

(u(l, t)(−1)

− u(0, t))+

∂u

nπx

−

∫

cos

nπ

∂x

Последний интеграл берем по частям,

положив

∂u ,

= cos

nπx

dx .

∂2 u

nπx

∂x

sin

Тогда du

∂x 2

nπ

Поэтому имеем

[(−1)n u(l, t) − u(0, t)]−

(t) = −

∂2 u sin

nπx

dx .

(nπ)2

∫

nπ

∂x 2

Так как u(x, t) удовлетворяет уравнению (1.193) и граничным условиям (1.204), то

T (t) =	2	[µ (t) − (−1)n µ (t)]−		2l	l ∂u sin	nπx	dx .
	nπ
n		1	2	(nπ)2 0 ∂t		l
					∫

Дифференцируя теперь выражение (1.207) по t , найдем

dTn	(t)		2 l		∂u	nπx
		=		∫	sin		dx .

dt			l	0	∂t	l

(1.208)

(1.209)

Исключая интеграл из равенства (1.208) и (1.209), получим следующее уравнение для определения коэффициентов Tn (t) разложения (1.206):

dTn (t)	+	nπa	2 Tn	(t) =	2nπa 2	[µ1 (t) − (−1)n µ2 (t)].	(1.210)
dt					l2
	l

Решим это уравнение методом вариации произвольной постоянной

dT (t)

nπa

(t) = 0

nπa

= −

dt ln

= −

Тn

nπa

(t)

= C

−

(t)e

(1.211)

Тогда

nπa 2

−

nπa

−

Tn′ (t) = C′n (t)e

−

Cn (t)e

Подставляя найденные выражения Tn (t) и Tn′ (t) в линейное неоднородное уравнение (1.210), получим дифференциальное уравнение относительно Cn (t):

C′ (t)e

nπa 2

= 2nπa

[µ (t) − (−1)n µ (t)],

−

откуда

C′ (t) = 2nπa

nπa 2

[µ (t) − (−1)n µ (t)].

Интегрируя, находим

nπa

[µ1

(τ) − (−1)n µ2 (τ)]dτ + Cn .

Cn (t) =

2nπa

2 t

∫ e

Таким образом, общее решение уравнения (1.210) имеет вид

nπa

−

2nπa

2 t

[µ1

(τ) − (−1)n µ2 (τ)] dτ .

Tn (t) = e l

C n

∫ e l

(1.212)

Определим постоянные C n . Очевидно, C n = Tn (0).

Чтобы удовлетворить начальному условию (1.205), потребуем выполнения равенства

u(x,0) = ∑ T (0)sin nπx = ϕ(x)

∞

и, следовательно,

n=1

T (0) = C

ϕ(x)sin

nπx

dx .

(1.213)

∫

Итак, решением задачи (1.193), (1.204) – (1.205) является ряд (1.206), в

котором функции Tn (t) определяется равенствами (1.212) и (1.213).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2911 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc