УМК

Общее же воздействие, обусловленное начальной температурой ϕ(ξ) во всех точках стержня, может быть получено суммированием тех воздействий, которые произошли от отдельных элементов, т.е. от каждого импульса в отдельности, что и даст полученное выше решение

Другими словами, решение (1.246) есть результат суперпозиции (наложения) температур, возникающих в точке x в момент времени t вследствие воздействия непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов «интенсивности» ϕ(ξ) в точке ξ , приложенных в момент t = 0 .

Формула Пуассона (1.246) обобщается в задачу Коши для уравнения теплопроводности с двумя и тремя пространственными координатами. Так, в случае распространения тепла в неограниченном пространстве уравнение теплопроводности

при начальном условии

u t=0 = ϕ(x, y, z)

имеет решение

1.35 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ШАРЕ

Решение задачи теплопроводности в пространстве двух и трех измерений связано с большими трудностями математического характера. Возможности использования математического аппарата в настоящем курсе сильно ограничены. Поэтому рассмотрим краевую задачу для трехмерного пространства, решение которой можно привести к одномерному случаю.

Пусть имеем однородный шар радиуса R , центр которого находится в начале координат. Предположим, что как в начальный, так и в последующие моменты времени температура одна и та же во всех точках, находящихся на одинаковой расстоянии r от центра шара. Во все время наблюдения внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре. Определим температуру любой точки внутри сферы в момент времени t > 0 .

Преобразуем уравнение теплопроводности в пространстве трех координат

к уравнению с одной пространственной координатой, т.к. температура u в точке M(x, y, z) для t > 0 по условию зависит от ее расстояния r до начала координат.

Значит,

то задача легко сводится к решенной ранее одномерной краевой задаче с однородными граничными условиями. В самом деле, из (1.255) найдем

Vt = ru t , Vr = u + ru r , Vrr = 2u r + ru rr .

Выразим отсюда u t , u r , u rr и подставим их значения в (1.252). Уравнение (1.252) преобразуется к виду

Vt = a 2 Vrr ,

а условия для новой функции V(r, t) таковы:

V t=0 = rϕ(r),

или

∫∫∫(divE − 4πρ)dV = 0 .

V

Отсюда, ввиду произвольности объема V , следует, что равно нулю подынтегральное выражение. Таким образом, перешли к дифференциальной форме теоремы Гаусса

Из электродинамики известно, что электростатическое поле является безвихревым, или потенциальным, т.е. существует такая скалярная функция ϕ(x, y, z), для которой

E = −gradϕ ,

где ϕ - электрический потенциал.

В векторном анализе было установлено, что div(grad ϕ)≡ ϕ .

С учетом этого уравнение (1.257) примет вид

Всистеме единиц СИ уравнение (1.258) записывается проще:

ϕ= −ρ.

Отсюда заключаем, что потенциал ϕ электрического поля удовлетворяет уравнению Пуассона. Если объемных зарядов нет (ρ = 0), то потенциал ϕ

удовлетворяет уравнению Лапласа:

ϕ = 0 .

Основное уравнение гидродинамики

Пусть внутри некоторой области T с границей S имеет место течение несжимаемой жидкости (плотность ρ = const ), характеризуемое вектором

скорости v . Будем предполагать, что координаты v x , v y , vz вектора v не

зависят от времени t . Такое движение называют стационарным или установившимся. Как известно из векторного анализа, стационарное поле скоростей движущейся несжимаемой жидкости является соленоидальным, т.е.

(Напомним: в силу условия несжимаемости, количество жидкости, поступающей внутрь поверхности S за единицу времени, равно количеству жидкости, удаляющейся за это время из области, ограниченной этой поверхностью. Следовательно, поток через произвольную замкнутую поверхность в этом поле равен нулю, а это означает, что дивергенция поля равна нулю во всех точках (формула Остроградского-Гаусса)).

Уравнение (1.259) называется уравнением движения несжимаемой жидкости. Оно еще не дает возможности определить скорость v , поскольку надо знать три скалярные функции v x , v y , vz , а уравнение для их определения

только одно. В гидродинамике выводятся из физических соображений еще несколько уравнений и из полученной системы уравнений находятся координаты вектора v . Мы не будем составлять этих уравнений; вместо этого наложим на движение дополнительное требование и тогда, в этом частном случае, нам удастся обойтись одним уравнением (1.259). Ограничимся рассмотрением потенциального движения жидкости. Если течение невихревое ( rot v = 0 ), то скорость v есть градиент некоторой скалярной функции u ,

называемой потенциалом скорости:

v = −grad u .

Подставляя это выражение в (1.259), получим div(grad u)= 0

или

u = 0 .

Как видим, потенциал u(x, y, z) скорости течения жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа.

Взадачах фильтрации можно принять

v= −k grad P ,

1.37 ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА

Для решения уравнения Лапласа или Пуассона, как и вообще для решений стационарных задач, естественно, не задается начальный режим. Задаются лишь условия на границе области.

Математически задача для уравнений Лапласа (Пуассона) ставится так: найти функцию u(x, y, z), удовлетворяющую внутри области V , ограниченной замкнутой поверхностью S , уравнению

u = 0 ( u = −f (x, y, z))

и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:

нормали n к поверхности S ; P(x, y, z) - текущая точка поверхности.

Как отмечалось в п. 1.32, задача интегрирования уравнения Лапласа с граничным условием первого рода называется первой граничной задачей или задачей Дирихле, а с условием второго рода – второй граничной задачей или задачей Неймана. Если задана линейная комбинация неизвестной функции и ее нормальной производной, то задачу интегрирования называют третьей граничной задачей. В некоторых задачах на разных участках границы задаются условия разных типов, тогда говорят о смешанной граничной задаче.

В частности, если уравнение Лапласа описывает установившийся режим фильтрации, а функция u определяет давление в каждой точке пласта, то граничное условие первого рода означает, что в точках поверхности S задается давление (например, давление на забое скважины или на контуре питания при плоско-параллельном течении); задание граничного условия второго рода равносильно заданию потока фильтрующейся жидкости, т.е. дебита в каждой точке границы S . Граничное условие третьего рода задается, когда имеет место переток жидкости в выше – или нижележащие пласты.

Если решение ищется в области V , внутренней (или внешней) по отношению к поверхности S , то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) граничной задачей.

1.38 РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ (ГРАНИЧНЫХ) ЗАДАЧ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ОБЛАСТЕЙ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Для областей произвольной формы метод Фурье для решения уравнения Лапласа (или Пуассона) неприменим. Этот метод для уравнения Лапласа проходит лишь в случае некоторых простейших областей, где возможно разделение переменных в граничных условиях (прямоугольник, круг, кольцо, сектор, шар, цилиндр и др.) Получающиеся при этом задачи на собственные значения (задачи Штурма-Лиувилля) приводят к различным специальным функциям. Мы рассмотрим задачи Дирихле в плоской области, при решении которых используются только тригонометрические функции (круговые и гиперболические).

1.38.1. Решение задачи Дирихле (внутренней и внешней) для круга. Интеграл Пуассона

Прежде напомним определение: функция u называется гармонической в некоторой области T , если она непрерывна в этой области вместе со своими частными производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа в этой области. Решим первую граничную задачу (внутреннюю и внешнюю) для круга. Имея в виду, что различные физические процессы с математической точки зрения могут быть совершенно подобными, мы не будем интерпретировать рассматриваемую задачу в терминах того или иного физического явления, а ограничимся математической постановкой и разберем метод решения, единый для аналогичных проблем.

Внутренняя задача Дирихле: найти функцию u , удовлетворяющую

внутри круга x 2 + y2 < a 2 , непрерывную в замкнутой области x 2 + y2 ≤ a 2 и принимающую заданные значения на границе круга:

удовлетворяющую граничному условию (1.261).

Обе задачи будем решать одновременно. Задачу проще решать в

После замены переменных (1.262) уравнение Лапласа

в полярных координатах принимает вид

(Читателю предоставляется выполнить это самостоятельно). Соответственно граничное условие (1.262) запишется так:

Согласно методу Фурье ищем решение уравнения (1.263) при условии

(1.264) в виде

Подставляя (1.265) в (1.263), получим

R ′′(ρ)Φ(ϕ)+ ρ1 R′(ρ)Φ(ϕ)+ ρ12 R(ρ)Φ ′′(ϕ)= 0 .

Разделяем переменные

Поскольку по обе стороны знака равенства стоят функции от различных независимых переменных, то такое равенство возможно только тогда, когда обе части равны одной и той же постоянной, которую обозначим через λ . Тогда приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:

При изменении угла ϕ на величину 2π однозначная функция

и ограниченная функция f (ϕ), должна вернуться к исходному значению, т.е.

должно быть выполнено условие периодичности: u(ρ, ϕ + 2π)= u(ρ, ϕ).

Отсюда следует, что функция Φ(ϕ) является периодической с периодом 2π :

Решение (1.268) будет удовлетворять условию периодичности лишь тогда, когда λ = n , где n = 0, 1, 2,... Отрицательные n можно отбросить, т.к. знак n влияет только на знак произвольной постоянной B . Значит, отрицательные n не дают новых решений.

Таким образом, собственные числа и собственные функции задачи

(1.268), (1.269) есть

R n (ρ) уравнения (1.271):

(Постоянные C n и D n включены в A n и Bn ). В силу линейности и однородности уравнения Лапласа суммы частных решений

∞

u(ρ, ϕ) = ∑ ρn (A n cos nϕ + Bn sin nϕ), ρ ≤ a , (1.275)

n=0

также будут решением уравнения Лапласа (при условии сходимости рядов). Подберем произвольные постоянные A n и Bn так, чтобы

удовлетворялось условие (1.264)

∞

u(a, ϕ) = f (ϕ) = ∑ a n (A n cos nϕ + Bn sin nϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π. (1.277)

n=0

Напишем ряд Фурье для периодической функции f (ϕ) на отрезке [0; 2π]: