УМК

U(ξ, η) = Φ(ξ) + F(η),

где Φ и F - произвольные дважды дифференцируемые функции (см. пример 2.40). Для определения функций Φ и F, т.е. для определения закона колебаний струны, требуется использовать начальные условия, а для некоторых задач и граничные. Если вернуться к старым переменным x и t , то общее решение примет вид

U(x, t) = Φ(x + at) + F(x − at).

Здесь F(x − at) характеризует прямую волну (кривая F(x)смещается вправо со скоростью a ), а Φ(x + at) - обратную волну (кривая Φ(x) смещает-

Формула (2.75) называется формулой Даламбера. Эта формула доказывает единственность решения задачи Коши.

В частности, когда начальная скорость равна нулю ( ψ (x) = 0), то

U(x, t) = ϕ(x − at) + ϕ(x + at) , 2

откуда легко вычислить отклонение струны от положения равновесия для любой из ее точек; оно равно сумме левой и правой бегущих волн, причем началь-

ная форма каждой волны определяется функцией ϕ(x)2, равной половине на-

чального отклонения.

В случае полубесконечной струны, кроме начальных условий (2.74), заданных при 0 ≤ x < ∞, необходимо добавить еще граничное условие (конец предполагается в точке x = 0 )

для закрепленной в точке x = 0 струны,

для упругого закрепления в точке x = 0 .

В случае однородных граничных условий (2.76) или (2.77) решение задачи о колебании полубесконечной струны сводится к решению задачи о колебании бесконечной струны путем продолжения начальных условий на всю ось

ПРИМЕР 2.43. Найти форму достаточно длинной струны, определяемой

Решение. По постановке вопроса надо найти решение U (x, t) задачи

Коши (2.73), (2.74) в области: − ∞ < x < ∞, t > 0 . Оно определяется формулой Даламбера (2.75).

СЛУЧАЙ а). Полагая в формуле Даламбера ϕ(x) = sin x , ψ(x) = cos x , найдем смещение U (x, t) в любой точке и любой момент t :

= 1 [sin(x −t) + sin(x +t)]+ 1 [sin(x +t) − sin(x −t)] =sin(x +t).

Откуда определяем форму кривой в указанные моменты времени:

U (x, π2) = cos x , U (x, π) = −sin x .

Кривые изображены на рис. 2.3.

U(x, y)

Рис. 2.3

СЛУЧАЙ б) Начальные смещения струны равны нулю, т.к. U(x,0) = 0 . При ϕ(x) = 0 колебательный процесс будет описан по формуле

В момент времени t = π2 струна имеет форму косинусоиды: U t =π 2 = cos x ,

а в момент t = π она совпадает с осью абсцисс: U t =π = 0 .

СЛУЧАЙ в). По условию, начальные скорости равны нулю, значит,

Форма струны в указанные моменты времени определяется уравнениями:

U (x, π2) = 0 , U (x, π) = −sin x .

2.21 РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУРЬЕ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ФУРЬЕ

Метод Фурье или метод разделения переменных, широко используемый при решении ряда задач математической физики, состоит в следующем. Искомая функция, зависящая от нескольких переменных, ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, часть из которых вместе с крае-

выми условиями исходной задачи являются краевыми задачами, называемыми

параболического типов – волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Рассмотрим однородные уравнения

для (2.79).

Процесс решения разбивается на два этапа: I – нахождение частных решений; II – нахождение общего решения и удовлетворение начальным условиям.

I. Ищутся всевозможные частные решения (2.78) в виде

В результате подстановки функции такого вида в уравнение (2.78) полу-

чаем

Последнее уравнение распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно функций X(t) и T(t):

(т.к. случай T(t)= 0 не представляет интереса, поскольку тогда U ≡ 0).

Для определения функции X(x) получена з а д а ч а Ш т у р м а -

Л и у в и л л я: найти такие значения параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (2.85), удовлетворяющие граничным условиям (2.86). Те значения параметра λ, для которых задача (2.85) – (2.86) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а сами решения – собственными функциями. Нетривиальные решения задачи (2.85) – (2.86) возможны лишь при значениях

Этим значениям λk соответствуют собственные функции

Таким образом, произведения функций X k (t) и Tk (t) образуют частные решения уравнения (2.78), удовлетворяющие краевым условиям (2.80)

II. При помощи собственных функций строится общее решение уравнения в частных производных, которое в силу свойства линейного однородного уравнения можно взять в виде комбинации полученных частных решений - ряда

точки x струны в любой момент времени t . Чтобы определить форму струны в момент t 0 , надо протабулировать функцию U(x, t 0 ), ограничившись несколькими.

2.22УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Вп. 2.18 отмечалось, что нестационарные процессы теплопроводности, диффузии и другие описываются уравнениями параболического типа (2.63) – (2.66). Ограничимся рассмотрением процесса распространения тепла в одномерном теле – стержне, достаточно тонком, чтобы в любой момент времени температуру U во всех точках поперечного сечения можно считать одинаковой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.45. Поставить задачу о распределении температуры в тонком однородном стержне 0 ≤ x ≤ l с теплоизолированной боковой поверхностью. Внутри стрежня происходит свободный теплообмен, т.е. отсутствуют источники и поглотители тепла. Начальная температура есть некоторая функция от x , а на концах поддерживается следующий температурный режим:

а) на концах задается температура a′ − постоянная, a′′ − переменная;

б) на концы стержня подаются извне заданные тепловые потоки; в) концы стрежня теплоизолированы;

г) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана.

Решение. Задача о распределении температуры в однородном стержне без

лопроводности материала стержня, c − удельная теплоемкость, ρ − плотность

стержня). Начальное условие запишется в виде

U(x,0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ l,

где ϕ(x) − произвольная функция, определяющая начальную температуру точек стержня в момент времени t = 0 . Сформулируем граничные условия.

В случае a′′, когда концы стержня находятся при заданных переменных температурах, формулировка задачи следующая: найти решение уравнения