УМК

Из последнего равенства после упрощения получаем искомое дифференциальное уравнение II порядка y y ′′= 3 (y′)2 .

В следующих задачах для составления ДУ I порядка используем геометрический смысл первой производной функции. Пусть к кривой y = f (x) проведена касательная; (x 0 , f (x 0 ))− точка касания. f ′(x 0 )= k − угловой коэффициент касательной или f ′(x 0 )= tg α , где α − угол наклона касательной к положительному направлению оси 0X . Уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x 0 имеет вид:

y = f (x 0 )+ f ′(x 0 ) (x − x 0 ) или y = y 0 + y′0 (x − x 0 ), где (x 0 , y 0 )− коор-

динаты точки касания. Точка (x 0 , y 0 ) лежит на кривой y = f (x) и на касательной. (x, y)− координаты текущей точки касательной, то есть координаты любой точки, лежащей на касательной (не на кривой!). Напомним, что нормаль –

«y» равна нулю. Точка С – точка нормали, следовательно, ее первую координа-

ПРИМЕР. Составить дифференциальное уравнение семейства интегральных кривых, обладающих свойством: длина перпендикулярна, опущенного из

Пусть касательная пересекает ось ординат в т.А, тогда ее первая координата «х» равна 0. Но т.А – точка на касательной, поэтому ее вторая координата «у» удовлетворяет уравнению касательной:

Точка C (x 0 , y 0 )− произвольная точка кривой, поэтому индекс у ее коор-

динат можно опустить. Окончательно ДУ I порядка будет иметь вид

2 x (y − 1)y′ = (y − 1)2 − x 2 .

Напомним физический смысл первой производной функции f (x). Если функция y = f (x) описывает динамический процесс, то есть проходящий во времени, то y′ = f ′ (x) есть скорость протекания этого процесса в момент времени х.

ПРИМЕР. Пусть тело находится в окружающей среде с более низкой температурой, равной 100 С. Известно, что с течением времени охлаждение тела пропорционально разности температур самого тела и среды с коэффициентом пропорциональности 0,02. Составить дифференциальное уравнение процесса изменения температуры тела во времени.

Решение. Обозначим Т – температуру тела в некоторый момент времени

тела T и окружающей среды 100 , то есть (T − 10) с коэффициентом пропорцио-

нальности 0,02. Получаем равенство dT = −0,02 (T − 10). Минус в правой части dt

означает процесс охлаждения. Это же уравнение может иметь вид

T′ = −0,02 (T − 10).

Отметим, что полученное дифференциальное уравнение I порядка, можно записать и таким образом y′ = −0,02 (x −10) или 50 y′ =10 − x .

ПРИМЕР 2.33. Цилиндрический резервуар с высотой 6 м и диаметром основания 4 м поставлен вертикально и наполнен водой. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через круглое отверстие радиуса 1/12 м, сделанного в дне резервуара?

Решение. Для решения поставленной задачи надо воспользоваться формулой Бернулли, определяющей скорость V (в м/с) истечения жидкости из отверстия в резервуаре, находящегося на h м ниже свободного уровня жидкости:

V = σ2gh

Здесь g = 9,8 м/с2 - ускорение силы тяжести, а σ - постоянный (безразмерный) коэффициент, зависящий от свойств жидкости (для воды σ ≈ 0,6 ).

Пусть через t с после начала истечения воды уровень оставшейся в резервуаре воды был равен h м, и за время dt с понизился еще на dh м (dh<0). Подсчитаем объем воды, вытекшей за этот бесконечно малый промежуток времени dt, двумя способами.

С одной стороны, этот объем dω равен объему цилиндрического слоя с высотой |dh| и радиусом, равным радиусу r основания резервуара (r=2 м). Таким образом, dω = πr2 dh = −πr2dh .

С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне резервуара, а высота равна V dt (гдеV - скорость истечения). Если радиус отверстия равен ρ( ρ = 1/12 м), то dω = πρ2νdt = πρ2 2ghdt .

Приравнивая эти два выражения для одного и того же объема, приходим к уравнению

− r2dh = σρ2 2ghdt.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

При t = 0 имеем h = h0 = 6 м. Отсюда находим

Таким образом, связь между t и h определяется уравнением t = σρ22r22g (h0 − h ),

а полное время истечения Т найдем, полагая в этой формуле h = 0:

T = 2r2 h0 .

σρ2 2g

Используя данные задачи (r = 2 м, hо = 6 м, σ = 0,6, ρ= 1/12 м, g = 9,8 м/с2), на-

ходим Т ≈ 1062 с ≈17,7 мин.

ПРИМЕР 2.34. В комнате, где температура 20° С, некоторое тело остыло за 20 мин от 100 до 60° С. Найти закон охлаждения тела; через сколько минут оно остынет до 30° С? Повышением температуры в комнате пренебречь.

Решение. В силу закона Ньютона (скорость охлаждения пропорциональна разности температур) можем записать:

При T=300 имеем 10=80(1/2)t/20, или (1/2)t/20=1/8. Таким образом, t/20=3, откуда t=60 мин.

ПРИМЕР 2.35. Материальная точка массы т движется по оси Ох под действием восстанавливающей силы, направленной к началу координат и пропорциональной расстоянию движущейся точки от начала; среда, в которой

происходит движение, оказывает движению точки сопротивление, пропорциональное скорости движения. Найти закон движения.

Решение. Пусть x& -скорость точки; &x& -ее ускорение; на точку действуют две силы: восстанавливающая f1 = −ax и сила сопротивления среды f1 = −bx .

Согласно второму закону Ньютона, имеем m&x& = −bx − ax, или m&x& + bx& + ax = 0

Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение mk2 + bk + a = 0 имеет корни

k1,2 = (− b ± b2 − 4ma )/(2m)

1). Если b2 − 4ma > 0 , то корни-действительные, различные и оба отрицательные; вводя для них обозначения

k1 = (− b + b2 − 4ma )/(2m)= −r1, k 2 = −(b + b2 − 4ma )/(2m)= −r2 ,

находим общее решение уравнения движения в виде x = C1e−r1t + C2e−r2 t (это-случай так называемого апериодического движения).

2.16ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ЕГО РЕШЕНИЯ. ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ

Дифференциальным уравнением в частных производных называют уравнение, связывающее неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные.

Порядок высшей частной производной, входящий в уравнение, определяет порядок уравнения.

Ограничимся рассмотрением уравнений с функциями двух и трех переменных.

Общий вид уравнения первого и второго порядков для функции двух переменных соответственно такой

где F − заданная функция своих аргументов.

Уравнение называется линейным, если F линейно зависит от функции U и ее частных производных.

Уравнение (2.51) называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

A(x, y)U xx + 2B(x, y)U xy + C(x, y)U yy + F(x, y, U, U x , U y ) = 0.(2.52)

Частным случаем уравнения (2.52) является линейное уравнение

где A, B, C, D, E, F, f − данные непрерывные функции, определяемые в некоторой области G переменных x и y , причем A, B, C имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Чаще всего коэффициенты перед искомой функцией и ее производными – числа. Если в уравнении (2.53) f (x, y) = 0 , то уравнение называется однородным; если f (x, y) ≠ 0 , то – неоднородным.

Решением уравнения в частных производных называется всякая функция, которая, будучи подставленная в уравнение вместо неизвестной функции U и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество по независимым переменным.

Как известно, для обыкновенного дифференциального уравнения y(n ) = f (x, y, y′,K, y(n−1) )

решение y = ϕ(x, C1 ,K, Cn ), содержащее n произвольных постоянных, называется общим (при условии, что при соответствующем выборе констант, возможно, решить задачу Коши).

Для уравнений в частных производных дело сложнее. Так называемое общее решение содержит произвольные функции в количестве, вообще говоря, равном порядку дифференциального уравнения. В приводимых ниже задачах будет отмечена особенность общего решения уравнения в частных производных.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.36. Выяснить, являются ли приведенные ниже равенства дифференциальными уравнениями в частных производных:

а) U 2xx + U 2yy − (U xx − U yy )2 = 0 ,

б) sin(U xy − U yy )− sin U xy cos U x − sin U x cos U xy + 2U = 0 .

Решение. Преобразуем уравнение а)

U 2xx + U 2yy − U 2xx + 2 U xx U yy − U 2yy = 2 U xx U yy = 0 .

Данное уравнение является уравнением в частных производных, так как в него входят частные производные второго порядка

Уравнение б) не является уравнением в частных производных, так как в него входит только функция U = U (x, y) . Действительно, раскрывая

sin (U xy − U yy ) , получим

sin U xy cos U x + sin U x cos U xy − sin U xy cos U x − − sin U x cos U xy + 2U = 0 2U = 0 U(x, y) = 0.

ПРИМЕР 2.37. Выяснить, какие из следующих уравнений являются линейными (однородными или неоднородными) и какие нелинейными:

а) 3 U xy − 6 U xx + 7 U y − U x + 8x = 0 ,

б) U x U 2xy + 2x U U xy − 3 xy U y − U = 0 ,

в) x 2 y U xxy + 2 e x y2 U xy − (x 2 y2 +1)U xx − 2 U = 0 .

Решение. Сравнивая данные уравнения с формой (1.4), заключаем, что - уравнение а) есть неоднородное линейное уравнение второго порядка,

для которого A = −6, 2B = 3, C = 0, D = −1, E = 7, F = 0, f = −8x ;

-уравнение б) нелинейное, так как оно не является линейным относительно старших частных производных;

-уравнение в) является однородным линейным уравнением третьего по-

рядка.

ПРИМЕР 2.38. Решить уравнение ∂U = 0 .

∂x

Решение. Ясно, что искомая функция U(x, y) не зависит от переменной x , но может быть любой функцией от y : U(x, y)= ϕ(y), поскольку, диффе-

ренцируя ϕ(y) по x , получим ноль, а это значит, что данное равенство выполняется. Таким образом, решение уравнения содержит одну произвольную функцию ϕ(y).

ПРИМЕР 2.39. Решить уравнение ∂U = f (y), где f (y)− заданная функ-

∂y

ция.

Решение. Интегрируя по y , восстановим искомую функцию

U(x, y) = ∫ ∂∂Uy dy + ψ(x) = ∫ f (y)dy + ψ(x),

где ψ(x) − произвольная функция.

Итак, решение уравнений в примерах 2.38 и 2.39 содержат одну произвольную функцию (ϕ(y) и ψ(x)). Такое решение называется общим. В отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит одну произвольную постоянную, решение уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию.

примере 2.38, общее решение последнего уравнения имеет вид: V = f (y), где

f (y) − произвольная функция. Исходное уравнение примет вид: ∂U = f (y).

∂y

Проинтегрировав полученный результат по y , получим

U(x, y) = ∫ f (y)dy + ϕ(x), иначе U(x, y) = ϕ(y) + ψ(x),

где ϕ(x) и ψ(x) − произвольные дважды дифференцируемые функции.

U(x, y)

уравнению.

Итак, решение уравнения в частных производных второго порядка содержит уже две произвольные функции. Такое решение называют общим.

Приведенные в качестве примеров уравнения дают основание сделать заключение: общее решение уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию, а общее решение уравнения второго порядка – две произвольные функции. В этом заключается коренное отличие общего решения уравнения в частных производных от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, которое содержит одну и две произвольные постоянные.

В дальнейшем будет выяснено, какие дополнительные условия надо задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как уравнению, так и дополнительным условиям.

называется характеристическим уравнением для уравнения (2.52), а его об-

щие интегралы ϕ(x, y)= C1 и ψ(x, y)= C2 − характеристиками.

Характеристики линейного уравнения (2.52) используются для приведения его к каноническому виду. Уравнение (2.52) в каждой из областей, где сохраняется знак дискриминанта , приводится к эквивалентному уравнению, а именно к каноническому, путем введения вместо переменных x и y новых пе-

ременных ξ и η с помощью зависимостей

ξ = ξ(x, y), η = η(x, y).

Для уравнения гиперболического типа характеристическое уравнение имеет два интеграла, т.е. существуют два семейства действительных характери-

стик

ϕ(x, y)= C1 и ψ(x, y)= C2 ,

ипотому следует сделать замену переменных, положив

ξ= ϕ(x, y), η = ψ(x, y),

врезультате чего исходное уравнение преобразуется к уравнению (2.54) (или к

уравнению (2.55) после дополнительной замены α = ξ + η , β = ξ − η , где α

2 2

и β − новые переменные).

Для уравнения параболического типа характеристическое уравнение имеет один действительный интеграл, т.е. одну характеристику ϕ(x, y)= C , и по-

тому полагают

ξ = ϕ(x, y), а η = ψ(x, y),

где ψ(x, y)− произвольная функция, например, η = x . После такой замены уравнение приводится к виду (2.56).

Для уравнения эллиптического типа общие интегралы характеристиче-

ского уравнения имеют вид

ϕ(x, y)≡ ϕ1 (x, y)± i ϕ2 (x, y)= C1, 2 ,

где ϕ(x, y)− функция, принимающая комплексные значения, а ϕ1 (x, y) и

ϕ2 (x, y)− действительные функции действительных переменных. С помощью

подстановок

ξ = ϕ1 (x, y), η = ϕ2 (x, y)

уравнение (2.52) приводится к каноническому виду (2.57).

После выбора новых переменных ξ и η требуется преобразовать производные, входящие в данное уравнение, к новым переменным. Напомним, что первые производные по старым переменным x и y выражаются через произ-