Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2925 26 27 28 29 > Следующая >>>

Профиль отклонений в любой момент времени получается вычитанием графика прямой волны из графика обратной волны. График V = V(x, t)

3.2.66. Найти отклонение U (x, t) закрепленной на концах x = 0 и x = l

однородной струны от положения равновесия, если в начальный момент струна имела форму параболы с вершиной в точке x = l2 и отклонением от положения равновесия h , начальная скорость равна нулю.

32 h

∞

2n +1

Ответ: U(x, t) =

∑

Sin

πx Cos

πa t .

(2n

+1)3

π3

n =0

3.2.67. Однородная

струна

закрепленными

концами

x = 0

и x = l

возбуждается

ударом

жесткого

плоского

молоточка в

точке

x = l 3 ,

сообщающего ей начальное распределение скоростей:

∂ U(x,0)

υ0 (const)

при

x −

∂ t

при

x −

где πh - ширина молоточка.

Найти закон свободных колебаний, если начальные отклонения равны нулю.

Ответ:

4υ

∞

kπ

k π2

k πa t

k π x

U(x, t) =

∑

Sin

π2 a

2 l h

k=0

3.2.68. Однородная струна,

закрепленная на концах

x = 0 и

x =1, в

начальный момент имеет форму U = h (x4 − 2x3 + x). Найти форму струны для любого момента времени t , если начальные скорости равны нулю.

	96 h	∞	Sin(2n +1) π x Cos(2n +1) πat
Ответ: U(x, t) =		∑
Ответ: U(x, t) =	π5	∑	(2n +1)5
	π5	n =0	(2n +1)5

3.2.69. Однородная струна закреплена в точках x = 0 и x = l . Начальные отклонения точек струны равны нулю, а начальная скорость выражается формулой

π(x - l 2)

x −

∂ U(x,0)

Cos

при

∂ t

при

x −

Найти форму струны для любого момента времени t .

Ответ:

4h l

∞

kπ

k π h

k π x

k πa t

U(x, t) =

∑

Sin

Cos

Sin

(

− k

)

k 1

3.2.70. Найти продольные колебания однородного стержня,

один конец

которого ( x = 0 ) закреплен жестко, а другой ( x = l) свободен, при начальных условиях

U(x,0) = kx ,	∂ U(x,0) = 0			при 0 ≤ x ≤ l .
	∂ t
Указание. Найти собственные значения и собственные функции задачи
Штурма - Лиувилля.
		8 kl	∞	(−1)	n		2n +1		2n +1
Ответ: U(x, t) =			∑			Sin		πx Cos		πat .
		π2		(2n +1)2
			n =0				2l		2l

3.2.71.Исследовать свободные колебания закрепленной струны,

колеблющейся в среде, сопротивление которой пропорционально скорости.

Указание. Если колебания струны или продольные колебания стержня происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, то уравнение колебания имеет вид Ut t + 2 hUt = a 2 Ux x , где h < πal , а

граничные условия записываются так же, как и в случае колебаний в среде без сопротивления. Применить метод Фурье к интегрированию этого уравнения.

Ответ: U(x, t) = e−h t ∑∞	[a k	Cos(q k t) + bk	Sin(q k t)] Sin	kπx	,

k =0				l

где a k

∫l ϕ(x) Sin

kπ

x dx ,

∫l ϕ(x) Sin

kπ

x dx ,

l q k

q k

	k πa 2			2
qk =			− h		.

		l

3.2.72. Стержень длиной l, конец которого x = 0 закреплен, находится в состоянии покоя. В момент времени t = 0 к свободному концу приложена сила

F0 = const (на единицу площади), направленная вдоль стержня. Найти смещение U(x, t) стержня (продольные колебания) в любой момент времени

t > 0 .

Ответ:

	F0 x		8 F0 l	∞	(−1)	n	Sin	2n +1	πx Cos	2n +1
U(x, t) =		−		∑							πat ,
	E		E π2		(2n +1)2
				n =0				2l		2l

где E − модуль упругости.

3.2.73. (Задача о гидравлическом ударе вязкой жидкости). В конце x = l

трубопровода 0 ≤ x ≤ l массовый расход жидкости Q = ρ ω (ρ − плотность жидкости, ω − скорость ее движения) изменяется в момент времени t = 0

скачком на величину A = const ; конец x = 0 соединен с большим резервуаром, где давление жидкости остается неизменным. Считая, что до изменения расхода в конце x = l давление и расход в трубопроводе были постоянными, найти изменение расхода в трубопроводе при t > 0 и изменение давления в сечении x = l при t > 0 .

Указание. Для определения давления и расхода воспользоваться дифференциальными уравнениями движения сжимаемой жидкости

− ∂∂ Px− ∂ P∂ t

=∂ Q + 2 a Q

∂t

=c2 ∂ Q .

∂x

Найти решение этой системы уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям		P(x,0) = 0,	Q(x,0) = 0, 0 ≤ x ≤ l
и граничным условиям		P(0, t) = 0,	Q(l, t) = A,	t > 0
Исключив	давление	P(x, t) из	уравнений,	решить	краевую задачу
относительно расхода Q(x, t):
∂2 Q = c2 ∂2 Q		− 2a ∂ Q ,
∂ t 2	∂ x 2	∂ t

где

Q (x,0) = 0 ,

∂Q(x,0) = 0,

0 ≤ x ≤ l ,

∂Q(0, t)

∂t

= 0, Q (l, t) = A , t > 0.

∂x

4 Aρ

∞

[Cosξn

Ответ:

Q(x, t) = A ρ −

e−a t

∑

t +

n=0

2n +1

+ a Sin ξn t Sin π(2n +1)(

− x)

ξn

ξn =

π c (2n +1) 2

− a

, а давление P в сечении x = l равно

∂ Q

P(l, t) = P(0, t) −

∫

+ 2 a Q dx =

0 ∂ t

(ξ

)

4 ρc A

∞

Sin

t − 2ϕ

= − 2 aρl A +

e−a t ∑

(2n

+1) Cos ϕn

n =0

tg ϕn =

ξn

3.2.74. Поставить задачу о распределении температуры внутри стержня

0 ≤ x ≤ l , поверхность	которого теплоизолирована,	если	на	одном	конце
(x = 0) поддерживается	постоянная температура U0	, а	на	другой	конец

(x = l) подается извне постоянный тепловой поток q0 . Начальная температура произвольна.

Ответ: ∂U = a 2 ∂2 U		,	0 < x < l, t > 0 ,
∂t	∂x 2
U(0, t) = U 0 , U x			(l, t) =	q 0	, t > 0 ;
U(0, t) = U 0 , U x			(l, t) =	kσ	, t > 0 ;
				kσ
U(x,0) = f (x),		0 ≤ x ≤ l ,

где k − коэффициент теплопроводности материала стержня; σ −

площадь поперечного сечения.

3.2.75. Сформулировать задачу, математическая постановка которой

имеет вид

∂U = a 2 ∂ 2 U , 0 < x < l, t > 0
∂t	∂x 2
U(0, t) = U(l, t) = 0, t > 0;
U(x,0) = U 0 = const,			0 ≤ x ≤ l .
3.2.76. Поставить задачу об отыскании закона изменения температуры
стержня	0 ≤ x ≤ l	с	теплоизолированной	поверхностью	и

теплоизолированными концами, если его начальная температура является произвольной функцией x .

Ответ: ∂U	= a 2 ∂ 2 U ,		0 < x < l,	t > 0
∂t	∂x 2
∂U(0, t)	= ∂U(l, t)	= 0, t > 0;
∂x	∂x
U(x,0) = f (x),			0 ≤ x ≤ l .

3.2.77. Уравнение диффузии в неподвижной среде (в предположении, что поверхностями равной плотности в каждый момент времени t являются плоскости, перпендикулярные к оси ОХ) имеет вид:

∂ U = D	∂ 2 U	, 0 < x < l , t > 0 ( D - коэффициент диффузии).
∂ t	∂ x 2

Написать граничные условия, полагая, что диффузия происходит в плоском слое 0 ≤ x ≤ l , для следующих случаев:

а) на граничных плоскостях концентрация диффундирующего вещества поддерживается нулевая;

б) граничные плоскости непроницаемы;

в) граничные плоскости полупроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного теплообмена.

Ответ: ∂ U = D	∂ 2 U ,	0 < x < l , t > 0 .
∂ t	∂ x 2
U(x,0) = f (x) ,	0 ≤ x ≤ l,
а) U(0, t) = U(l, t) = 0,		t > 0 ,

б)	∂ U(0, t) =	∂ U(l, t) = 0, t > 0 ,
	∂ x	∂ x

∂U

∂

в) ∂

∂ x

x =0	= h [U (0, t) − ϕ1 (t)]
	, t > 0 .
x =l	= −h [U (l, t) − ϕ2 (t)]

где h = αD , α - коэффициент проницаемости на концах.

3.2.78. В грунт забита однородная свая высотой l для надземного

трубопровода. Начальная температура сваи f(x). Поставить краевую задачу об определении температуры сваи, если на нижнем конце x = 0 поддерживается

постоянная температура U1 ,

равная температуре грунта, а на верхнем конце

x = l происходит

конвективный теплообмен

по закону

Ньютона с

окружающей средой нулевой температуры.

Ответ:

∂ U = a 2 ∂2 U −

α p

0 < x < l ,

t > 0 .

∂ t

∂ x 2

сq s

U(x,0) = f (x) ,

0 ≤ x ≤ l,

∂ U

U(0, t) = U1

= 0 , t

> 0 ,

∂ x

+ h U

x =l

h = α k ; α − коэффициент

где

p − периметр

поперечного

сечения;

теплообмена; k − коэффициент теплопроводности материала стержня.

3.2.79. Дан тонкий

однородный

стержень

длиной l = 4,

поверхность

которого теплоизолирована. Начальная температура определяется по закону

	2	2 ,	0 ≤ x ≤ 2
f (x) = x
4 − x ,			2 ≤ x ≤ 4.

Концы стержня поддерживаются при нулевой температуре. Найти распределение температуры в стержне. (Принять коэффициент температуропроводности a равным 2).

	8	∞
Ответ: U (x, t) =		∑
	π2
		k =1

1			k π		4		k π
		3Sin		+		Cos		− 4	×
k	2		2		kπ		2

π x

−

Sin

× exp

3.2.80. При тех же условиях, что и в задаче 9.4, положить

f (x) =

U 0

0 ≤ x ≤ l 2

l 2 ≤ x ≤ l.

0 ,

2 U 0

∞

(−1)m

2 m +1

Ответ:

U (x, t) =

∑

Cos

π x ×

2 m +1

m=0

(2 m +1)2 a 2 π2 t

× exp −

3.2.81. В стержне 0 ≤ x ≤ l

с теплоизолированной поверхностью левый

конец ( x = 0 ) теплоизолирован, а на правом

конце ( x = l)

поддерживается

постоянная температура U1 ; начальная температура U 0 постоянна по всей длине стержня. Найти распределение температуры в стержне ( t > 0 ).

Ответ:

∂ U = a

2 ∂2 U

0 < x < l ,

t > 0.

∂ t

∂ x 2

∂ U(0, t) = 0,

U(l, t) = U1 ,

U(x,0) = U 0 ;

∂ x

− U

)

∞ ( 1)n

2 n

−

U (x, t) = U1

∑

Cos

π x

2 n +1

n =0

	(2 n +1)2 a 2 π2 t
× exp −	4l2	.
	4l2

3.2.82. В стержне 0 ≤ x ≤ l с теплоизолированной поверхностью, левый конец которого теплоизолирован, а правый поддерживается при температуре

U1 , начальная температура

ϕ(x) = U 0 x l .

Найти

распределение

температуры по длине стержня.

+ U

)

∞ ( 1)n

2 n

−

Ответ: U (x, t) = U1 +

∑

Cos

π x

2 n +1

n =0

(

8 U

∞

× exp −

2 n +1

−

∑

4l2

π2

2 n +1

n=0

2.		2 n +1
	× Cos
		2l

		(2 n +1)2 a 2 π2 t
π x	exp −		.
		4l2

3.2.83. Найти	распределение	температуры		в стержне		0 ≤ x ≤ l с
3.						конце x = 0
теплоизолированной	боковой поверхностью, если на				его	конце x = 0
поддерживается температура, равная		нулю,	а на	конце	x = l температура
меняется по закону	A t , A = const ,	t > 0 .	Начальная температура стержня

равна нулю.

Ответ: решением краевой задачи

∂ U = a 2 ∂2 U

, 0 < x < l , t > 0.

∂ t

∂ x 2

U(0, t) = 0 ,

U(l, t) = A t ,

t > 0 ;

U(x,0) = 0 ,

0 ≤ x ≤ l

является функция:

(x 2 − l2 )+ V(x, t) , 0 ≤ x ≤ l,

U (x, t) =

A x t

A x

t > 0 ,

6 a 2 l

∞

na π

π n

V (x, t) =

∑ a n exp −

t Sin

x ,

n =0

где

a n =

∫l z (z 2 − l2 ) Sin π n z dz .

3a 2 l2

3.2.84.

Дан

тонкий

однородный

стержень

длины l , с

боковой

поверхности которого происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду,

имеющую нулевую температуру; левый конец стрежня поддерживается при постоянной температуре U1 . Определить температуру U (x, t) стержня, если а) правый конец стержня x = l поддерживается при температуре

U 2 = const , начальная температура равна U 0 (x) ;

б) на правом конце происходит теплообмен с окружающей средой,

температура которой равна нулю; начальная температура равна нулю.

Указание.

Решение задачи с граничными условиями U (0, t) = α1 (t) и

U (l, t) = α2 (t)

можно

искать

виде

U = v + w ,

где

функция

w определяется формулой w = α1 (t) +

[α2 (t) − α1 (t)].

а) Задача приводится к решению уравнения

∂ U = a

2 ∂2 U − h 2 U

0 < x < l ,

t > 0.

(*)

∂ t

∂ x 2

при граничных условиях U(0, t) = U1 ,

U(l, t) = U 2

и в начальном условии

U(x,0) = U 0 (x) .

Решение

этой

задачи

искать

виде U (x, t) = v (x) + w (x, t) , где v -

решение уравнения a 2 v′′ − h 2 v = 0,

удовлетворяющее заданным граничным

условиям, а w (x, t) –

решение уравнения

при нулевых граничных условиях и

при начальном условии w (x,0) = U 0 (x) - v (x) .

б) Граничные условия имеют вид

∂ U

U(0, t) = U

+ h

= 0,

∂ x

x=l

Решение искать в виде

U (x, t) = v (x) + w (x, t) , где

v(x)− решение

уравнения a 2 v′′ − h 2 v = 0, удовлетворяющее краевым условиям

∂ v

= U

+ h

= 0,

x=0

∂ x

а w (x, t) -

x=l

решение уравнения (*)

(см. пункт а) при условиях

∂ w

= 0,

+ h

= 0,

w (x,0) = −v (x) .

x=0

∂ x

x=l

U 2 Sh

x − U1 Sh

(x − l)

Ответ: а)

U (x, t) =

+ 2

∞

π n (−1)

exp(− a 2 λ2n t ) Sin

πn x ,

∑

U 2 − U1 + a n

λ2n

l n =1 l

	2		πn 2
где	λn	=
			l


h		2	l	πn x

+	,		a n = ∫ U0 (x) Sin	dx ;

a			o	l

h Ch

(l − x)+ h1

a Sh

(l − x)

б)

U (x, t) =

−

h Ch

l + h1

a Sh

− 2 U1 a 2 ∑∞ µn (µn2 + h12 )

Sin(µn x)

exp [− (a 2 µn2

+ h 2 )t]

n =1 a µn2 + h 2

l (µn2 + h12 )+ h1

где

µn (n = 1, 2, ...)

положительные корни

уравнения

tg (lµ) = −µh1 .

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2925 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc