Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2922 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

∂ U = a 2 ∂2 U ,		0 < x < l , t > 0
∂ t	∂ t 2
при начальном условии
U(x,0) = ϕ(x) ,		0 ≤ x ≤ l ,
и граничных условиях
U(0, t) = ψ1 (t) ,		U(l, t) = ψ2 (t) , t > 0 ;
СЛУЧАЙ	б) тепловой поток q (количество тепла, протекающее через

поперечное сечение стержня площадью σ в момент времени t ) определяется законом Фурье

q= −k σ ∂ U .

∂x

По условию, в стержень через его левый и правый концы подаются тепловые потоки; пусть они заданы функциями Q1 (t) и Q2 (t) соответственно.

Тогда условия на концах стержня запишутся так:

− σ ∂ U(0, t) k

∂ x

σ ∂ U(l, t)

∂ x

=Q1 (t)

=Q2 (t)


или	∂ U(0, t)	= −		Q1 (t)		= ν1 (t),
или	∂ x	= −		k σ		= ν1 (t),
	∂ x			k σ
или	∂ U(l, t) =		Q	2 (t)	= ν		2 (t).
или	∂ U(l, t) =				= ν		2 (t).
	∂ x		k σ

Эти условия отличаются знаком, так как тепловой поток, поступающий в стержень через правый конец x = l, имеет направление, противоположное направлению оси 0X . На концах имеем граничные условия второго рода.

Итак, математически задача формулируется следующим образом: решить уравнение

∂ U = a 2 ∂2 U			,	0 < x < l , t > 0,
∂ t	∂ x 2
при начальном условии
U(x,0) = ϕ(x) ,						0 ≤ x ≤ l ,
и граничных условиях
∂ U(0, t) = −		Q1 (t)			,	∂ U(0, t) =		Q2 (t)	; при t > 0;

∂ x			k σ			∂ x		k σ
СЛУЧАЙ	в) Если концы стержня теплоизолированы, то количество те-
пла q(0, t) = Q1 (t)			и	q(l, t) = Q2 (t),			поступающее через сечение x = 0 и

x = l, равно нулю. Следовательно, согласно закону Фурье, на концах выполняются условия

∂U(0, t) = 0 и		∂U(l, t) = 0
∂ x		∂ x
СЛУЧАЙ	г) согласно закону конвективного теплообмена Ньютона, по-

ток тепла в окружающую среду пропорционален разности температур на конце стержня и окружающей среды. Поэтому

для правого конца q(l, t) = α[ U (l, t) - ψ2 (t)], для левого конца q(0, t) = α[ U (0, t) - ψ1 (t)],

где U(0, t) и U(l, t) − значения температуры концов стержня,

ψ1 (t) и ψ2 (t) − значения температуры окружающей среды соот-

ветственно у левого конца ( x = 0 ) и правого конца ( x = l) стержня; α − коэффициент теплообмена.

С другой стороны, по закону Фурье,

для правого конца стержня x = l

− k	∂ U (l, t) = α[ U (l, t) - ψ	2 (t)]
	∂ x

q= −k ∂ U . Тогда

∂x

или

	∂ U (l, t)	= − h [ U (l, t) - ψ2 (t)] , где	h = α ,

	∂ x		k
для левого конца стержня x = 0
	∂ U (0, t) = h [ U (0, t) - ψ1 (t)] .
	∂ x

Здесь на правом конце стержня направление потока, идущего во внешнюю среду, совпадает с направлением оси 0Х, поэтому в соответствии с зако-

ном Фурье q = − k ∂ U∂ x . На левом же конце эти направления противоположны и поэтому поток q = k ∂ U∂ x .

Таким образом, математическая формулировка задачи имеет вид: найти решение уравнения

∂ U = a 2 ∂2 U ,		0 < x < l , t > 0,
∂ t	∂ x 2
при начальном условии
U(x,0) = ϕ(x) ,		0 ≤ x ≤ l ,

и граничных условиях

U(x, t)

	∂ U (0, t) = h [ U (0, t) - ψ1 (t)] ,
	∂ x
	∂ U (l, t)	= − h [ U (l, t) - ψ2 (t)] ,	t > 0.

	∂ x
На концах стержня имеем граничные условия третьего рода.
Если коэффициент теплообмена			α значительно больше коэффициента

внутренней теплопроводности k ( α >> k ), то граничные условия задачи г) переходят в граничные условия а). Если же, наоборот, α пренебрежимо мало ( α → 0 ), то граничные условия задачи г) превращаются в граничные условия задачи б), где Q1 (t) = Q2 (t) = 0 , то есть мы приходим к случаю тепловой изоляции концов стержня.

2.23 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ ФУРЬЕ

Здесь будет показано применение метода Фурье к решению задач о распространении тепла в ограниченном стержне в случае однородного и неоднородного уравнения теплопроводности при различных граничных условиях.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.46. Дана тонкая однородная проволока длиной l = 3, теплоизолированная от окружающей среды. Начальная температура определена по

закону f (x) = 3x − x 2 . На концах проволоки поддерживается нулевая темпера-

тура. Найти распределение температуры U(x, t) в проволоке. (Принять коэффициент температуропроводности a равным 4).

Решение. Искомая функция удовлетворяет уравнению

∂U	= 16	∂2 U	, 0	< x < 3, t > 0 ,
∂t		∂x 2

граничным условиям

U(0, t) = 0, U(3, t) = 0, t > 0

и начальному условию

U(x,0) = 3x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3.

Решение сформулированной задачи – однородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями, как установлено в п.6, определяется рядом (2.90)

U(x, t)

∞

kπa

kπx

= ∑ a k exp −

sin

k =1

в котором коэффициенты Фурье a k

вычисляются по формуле (2.91)

a k =

∫l ϕ(x)sin

kπx

dx,

где

ϕ(x) = U(x,0).

По условию, l = 3, a = 4, ϕ(x) = 3x − x 2 .

Вычислим коэффициенты Фурье, интегрируя по частям:

kπx

u = 3x − x 2 ,

dv = Sin

kπx

Sin

a k

∫ (3x

− x 2 )

dx =

kπx

du = (3

− 2x) dx,

v = −

Cos

kπ

x (3 − x) 3

Cos

kπx

−

∫ (3 − 2x) Cos

kπ

kπx

u = 3 − 2x,

dv = Cos

kπx

= 0 +

∫ (3 − 2x) Cos

dx =

kπ

du = −2 dx,

v =

Sin

kπx

kπ

kπx

(3 − 2x)

Sin

∫

Sin

dx =

kπ

kπ 0

kπx

0 +

∫ Sin

dx =

−

Cos

kπ

kπ 0

kπ

= −

[Coskπ − Cos 0] = −

[(−1)k −1]=

[1− (−1)k ].

k3π3

Тогда решение будет иметь вид

	36	∞	1 − (−	1)	k			4kπ		2
U(x, t) =		∑				e	−		t

								3
	π3		k 3
		k=1

Sin kπx . 3

0	при k - четном
Но, так как 1 − (−1)k =
2	при k - нечетном,

то, положив k = 2n + 1 ( k = 1 при n = 0 ), получим окончательное решение в виде

	72	∞	1	−	16(2n+1)	2 π2t	Sin	π(2n +1)
U(x, t) =		∑
				9				x .
	π3		(2n +1)3 e
		n=0						3

Чтобы найти численные значения искомой функции U(x, t) необходимо протабулировать полученное решение.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.47. Начальная температура однородного стержня длины l равна U 0 = const , на его концах поддерживается постоянная температура: в

точке x = 0 U = U1 , в точке x = l U = U 2 . Найти закон распределения температуры U(x, t), предполагая, что стенки стержня теплоизолированы и что внутри него происходит свободный теплообмен.

Решение. Задача сводится к решению уравнения

∂ U = a 2 ∂2 U		, 0 < x < l , t > 0
∂ t	∂ x 2

при неоднородных граничных и начальном условиях

U(0, t) = u1 , U(l, t) = u2 ,	t > 0,
U(x,0) = U0 ,	0 ≤ x ≤ l ,

Решение первой краевой задачи в случае ненулевых граничных условий будем искать в виде ряда Фурье по собственным функциям sin nπx :

					l
			∞
	U (x, t) = ∑ Tn (t) Sin πnx				(2.93)
			n =1	l
где
		2	l	πnx dx ,
Tn	(t) =	2	∫ U (x, t) Sin		(2.94)
Tn	(t) =		∫ U (x, t) Sin		(2.94)
		l	0	l

считая при этом t параметром. Займемся определением функций Tn (t). Интегрируя дважды по частям, получим

T (t) =	2	[U (0, t) − (−1)n U (l, t) ]−	2l	l	∂2 U Sin πnx dx .
				∫
n	πn		π2 n 2		∂ x 2	l
				0

Так как U(x, t) удовлетворяет уравнению			∂ U = a2 ∂2 U , то
			∂ t		∂ x2
T (t) =	2	[U (0, t) − (−1)n U (l, t) ]−	2l	l	∂ U	Sin πnx dx (2.95)
			(πna)2	∫
n	πn				∂ t	l
				0

Дифференцируя выражение (2.94) по t , найдем
	d T	=	2 l		∂ U	Sin	πnx
	n			∫			dx	(2.96)
	d t				∂ t
			l 0				l

Исключая интеграл из равенств (2.95), (2.96), получим уравнение для определения коэффициентов Tn (t) :

d Tn (t)	+ πna	2	T	(t) =	2πna 2	[U (0, t) − (−1)n U (l, t) ]

d t	l		n		l2

Общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид

Tn (t) =

	πna 2				2πna 2
exp −		t	Cn	+
exp −		t	Cn	+	l2
	l				l2

t	πna	2		n
	πna		τ [U (0, τ) − (−1)	n
∫exp
∫exp
0	l

	(2.97)

U (l, τ) ]dτ ,

где Cn определяется из равенства Tn (0)= Cn ,

а Tn (0) вычисляется согласно

∫

(2.94):

= T (0)

l U(x,0) Sin πnx dx

l 0

Так как по условию U(x,0) = U0 ,

U(0, t) = U 1,

U(l, t) = U 2 , то (2.97) при-

нимает вид

πna

Tn (t) =

[U1

− (−1)

U 2

] 1

− exp −

πn

πna

2 l

πnx

+ exp −

∫U0

Sin

	2	n		πna
	2	n		πna	2
		[U1 − (−1) U 2	] 1 − exp −		2	t −
=
=	πn
	πn			l

− exp −

πna 2l

	2 U	0	l	πnx
t				Cos
t			πn	Cos
	l			l
	l			l

πna

[U1 − (−1)

U 2

] 1 − exp −

t −

πn

2 U

πna 2

(Cos πn − Cos 0) =

−

exp −

πn

πna

[U1 − (1)

] 1 − exp −

t −

πn

2 U

πna 2

[(−1)

−1 ] .

−

exp −

(2.98)

πn

Подставляя (2.98) в ряд (2.93), получаем

2U1

sin

nπx

2U 2

(−1)n −1 sin

nπx

U(x, t) =

∞

∑

n =1

∞

(−1)n U

− U

nπa

nπx

∑

exp −

t sin

π n=1

(−1)n

2U 0

∞

−1

nπa

nπx

∑

exp −

t sin

n =1

Если воспользоваться известными разложениями

∞ sin nξ (

π - ξ

при

0 < ξ < 2π

∑

n =1

ξ = 0, 2π,

при

∑ (−1)

−

sin nξ

при

− π < ξ < π

= 2

∞

n =1

ξ = −π, π,

при

то можно найти суммы первых двух рядов полученного решения

∞

sin n πx

π(l − x)

∑

при

0 < x < 2l ,

n =1

(−1)n −1 sin n

πx

= πx

∞

∑

при

− l < x < l .

n =1

Тогда окончательно имеем

U(x, t) = U1 + (U 2 − U1 )

∞ (−1)n U

− U

+ [(−1)n

−1]U

n a

n x

∑

exp −

t sin

π n=1

Примечание. При решении данной задачи был использован подход к решению общей первой краевой задачи, когда на концах стержня задан произвольный температурный режим U1 = U1 (0, t) и U 2 = U 2 (l, t). Возможен другой подход, который используется при решении уравнения с неоднородными граничными условиями: искомая функция U(x, t) складываются из двух

функций

U(x, t) = v(x, t) + w(x, t),

где w(x, t) удовлетворяет ненулевым граничным условиям данной задачи, а v(x, t) − нулевым граничным условиям. В качестве w(x, t) выбирается какая угодно, но по возможности более простая функция, например, линейная отно-

сительно x

w(x, t) = α(t) + β(t) − α(t) x . l

Так, функция w(x, t) = U1 + (U 2 − U1 ) x удовлетворяет данным граничным l

условиям. В самом деле, w(0, t) = U1 , w(l, t) = U 2 . Метод разделения пере-

менных Фурье состоит в том, чтобы определить функцию v(x, t), которая удовлетворяет основному уравнению, нулевым граничным условиям и совместно с функцией w(x, t) начальному условию. Метод Фурье не определяет функцию w(x, t), она подбирается.

Покажем такой подход при решении следующей задачи.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.48. В конечном стержне 0 ≤ X ≤ 1 с теплоизолированной поверхностью действуют источники тепла по закону f (x, t) = t (x + 1) . На левом

конце стержня задан тепловой поток Q(t) = t2 , температура правого конца из-

меняется по закону ϕ(t) = t2 . Начальная температура стержня нулевая. Найти закон изменения температуры ( t > 0).

Решение. Имеем смешанную задачу для неоднородного уравнения параболического типа

∂ U	−	∂2 U	= t (x +1),	0 ≤ x ≤ 1, t > 0,	(2.99)
∂ t	−	∂ x 2	= t (x +1),	0 ≤ x ≤ 1, t > 0,	(2.99)
∂ t		∂ x 2
при начальном условии U(x,0) = 0 и граничных условиях
		∂U(0, t) = t2 и		U(1, t) = t2 .	(2.100)
		∂ x
Решение искомой задачи будем искать в виде
		U(x, t) = v (x, t) + w (x, t) .			(2.101)

Подберем сначала функцию w , удовлетворяющую граничным условиям

(2.100). Пусть, например, w = x t2 . Очевидно, что эта функция удовлетворяет данным граничным условиям (2.100):

∂w(0, t) = t 2 , w(1, t)= t 2
∂x
и начальному условию w(x,0)= 0 .
Тогда функция
v = U − x t 2			(2.102)
удовлетворяет уравнению
∂ v −	∂2 v	= t (1 − x) ,	(2.103)
∂ v −	∂ x2	= t (1 − x) ,	(2.103)
∂ t	∂ x2
однородным граничным условиям
∂v(0, t) = 0		и v(1, t) = 0	(2.104)
∂ x

и нулевому начальному условию

v(x,0) = 0 .

(2.105)

Тем самым, решение исходной задачи свелось к решению неоднородного уравнения с однородными условиями

∂ v =	∂2 v	+(1 − x) t ,
∂ v =	∂ x2	+(1 − x) t ,
∂ t	∂ x2
v(x,0) = 0 ,			∂ v(0, t) = 0, v(1, t) = 0 .
			∂ x

Применяя метод разделения переменных для решения однородного уравнения

∂ v −	∂2 v	= 0
	∂ x2
∂ t

при условиях (2.104), (2.105), положим v = X(x) T(t) . Решая задачу Штурма - Лиувилля

X′′(x) + λ2 X(x) = 0, X′(0) = 0 , X(1) = 0 ,

находим ее собственные значения

λn	= π + πn n = 0, 1, 2, …
	2

и соответствующие собственные функции

Xn (x) = Cos(λn x) .	(2.106)
Решение задачи (2.103) - (2.105) ищем в виде
∞
v(x, t) = ∑Tn (t) Cos(λn x)	(2.107)
n =0
Подставляя v(x, t) из (2.107) в уравнение (2.103) получаем
∑∞ [Tn′(t) + λ2n Tn (t)] Cos(λn x) = (1 - x) t .	(2.108)
n =0

Разложим функцию 1 − x в ряд Фурье по системе функций (2.106) на интервале (0,1):

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2922 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc