Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2923 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

	∞	Cos(λn x) .
	1- x = ∑ an	Cos(λn x) .
	n =0
	Так как
	1				2
	an = ∫ (1- x) Cos(λn x) dx =				2	,		(2.109)
	an = ∫ (1- x) Cos(λn x) dx =				2	,		(2.109)
	0				λn
то из (2.108) и (2.109) находим
	Tn′(t) + λ2n Tn (t) =		2 t	.				(2.110)
	Tn′(t) + λ2n Tn (t) =			.				(2.110)
			λ2n
	Решением уравнения (2.110) при условии Tn (0) = 0 является функция
	Tn (t) = 2 λ−n6 [exp (− λ2n t )+ λ2n t −1].							(2.111)
	Из (2.102), (2.107) и (2.111) находим искомое решение задачи (2.99) -
(2.100),
		∞						Cos(λn x) ,
	U (x, t) = x t2 +	2∑ λ−n6 [exp(− λ2n t)+ λ2n t					−1]	Cos(λn x) ,
		n =0
где	λn = π + πn ,	n = 0, 1, 2, … .
	2

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 9 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

3. Материалы для самостоятельной работы студентов

3.1КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

2.Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным.

3.Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.

4.Уравнения в полных дифференциалах.

5.Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин.

6.Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи

Коши. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.

7.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

8.Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.

9.Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

10.Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций.

Необходимое условие линейной зависимости системы функций.

11.Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.

12.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения.

13.Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

14.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения).

15.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения).

16.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.

17.Система дифференциальных уравнений. Методы их решения.

Характеристическое уравнение. Задача коши для системы

дифференциальных уравнений.

18.Дифференциальное уравнение в частных производных. Общее решение.

19.Линейные дифференциальные уравнения в частных производных

(однородные и неоднородные).

20.Классификация линейных уравнений и приведение их к каноническому виду.

21.Уравнение гиперболического типа. Постановка краевых задач.

22.Метод Даламбера.

23.Метод Фурье.

24.Уравнение параболического типа. Постановка краевых задач.

3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.2.1. Решите уравнения

1). x

1 + y2

dx + y(4 + x2 )dy = 0

Отв.

1 + y2

+ ln(4 + x2 ) = C

e−y2

dy +

= 0

Отв.

− 4)

+ C

2).

− 4

3). y′

= tgx tgy

Отв.

sin y cos x = C

4). y′ = −

sec y

Отв.

+ y sin y + cos y = C

5). 5ex tgydx + (1 − ex )sec2 ydy = 0

Отв.

y = arctgC(1 − e x )5

3.2.2. Найти частные решения уравнений

1). y′ sin x = y ln y

Отв.

= e

y = e

2).

y y′

+ ey

= 0

y(1) = 0

Отв.

2e− y (y + 1) = x2

+ 1

3). 3ex tgydx + (1 + ex ) sec2 ydy = 0

Отв.

(1 + ex )3 tgy = 8

y(0) = π

4). (1 + e2 x )y2 dy = e x dx y(0) = 0

= arctge

Отв.

5). S = S′cos2 t ln S

Отв. ln 2 S − 2tgt = 0

3.2.3. Кривая проходит через точку 2;

В произвольной точке этой

кривой проведена касательная. Точка пересечения касательной с осью OX имеет абсциссу вдвое большую, чем абсцисса точки касания. Найти кривую.

Ответ: y = 1 x

3.2.4. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(0;3),

если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен произведению координат точки касания.

Ответ: y = 3e 2 . 3.2.5. Найти время, в течение которого вся вода вытекает из конической

воронки, если известно, что половина воды вытекает в 2 мин.

Ответ: ≈ 4,6 мин. 3.2.6. В комнате, где температура 200 C , некоторое тело остыло за 20

мин от 1000

до 600 C . Найти закон охлаждения тела; через сколько минут оно

остынет до 300 C ? Повышением температуры в комнате пренебречь.

Ответ:

t = 60 мин.

3.2.7. Решить уравнения

1). x y′ − y =

Отв.:

arctg

= lnС x 2 + y2

x + y

2). y′ =

Отв.: arctg

= lnС x 2 + y2

x − y

3). (x2

+ y2 )dx − x y dy = 0

Отв.: y2 = x 2 lnСx 2

Отв.:

y = −x ln ln

C ≠ 0

4). xy′ − y + xe x = 0

Отв.: y = x −

5). 3y′ = x 2 + 9 x + 9

C + ln

3.2.8. Найти частные решения дифференциальных уравнений

1). (x y′ − y)arctg

= x;

y|x=1 = 0

= e

arctg

x2 + y2

Отв.:

(

−

3x2

)

( ) =

Отв.: y3 = y2 − x2

2).

2xy dx

0; y 0

−

Отв.: y = −x

3). y′ =

2xy − x

; y|x=1 = −1

+ 2xy − x

4). 2x 2 y′ = x 2 + y2 ; y(1) = 0

Отв.:

y = x −

1 + ln

5). xy′ = y +

y(1) = 0

Отв.: y =

(x 2 −1)

x 2 + y2 ;

3.2.9. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.

±2 y

Ответ: x = Ce x . 3.2.10. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной

равна соответствующей поднормали.

Ответ: x = y ln C y .

3.2.11. Решить уравнения

1). (x − 2y + 3)dy + (2x + y − 1)dx = 0

Отв.: x 2 + xy − y2 − x + 3y = С

2). (x + y + 2)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0

Отв.: С = x + 2y + 5 ln

x + y − 3

3). y′ =

2y − x − 5

Отв.: (x + y −1)3

= С(x

− y + 3)

2x − y + 4

4). y′ =

2x − y + 1

Отв.: x 2 − xy + y2 + x − y = С

x − 2y + 1

5). Найти

интегральную

кривую

Отв.: x2 − y2

+ 2xy − 4x + 8y − 6 = 0 .

дифференциального

уравнения

y′ =

x + y − 2

, проходящую

через

y − x − 4

точку M(1;1)

3.2.12. Решить уравнения

1). y′ + 2y = x 2 + 2x

Отв. y =

+ x −

+ C e

−2 x

2). y′ =

;

Отв. x = 8sin 2

+ C e−cos y

x sin y + 2 sin 2y

3). x y′ − y = x 2 cos x ;

Отв. y = x (sin x + C)

4). y′ + 2 x y = x e−x 2 ;

−x 2

Отв. y = e

+ C

5). (1 + x 2 ) y′ + y = arctg x;

Отв. y = arctg x −1 + C e−arctg x

Найти частное решение уравнений

6). y′

Отв. y = e− arcsin x

+ arcsin x −1

1 − x 2

+ y = arcsin x ;

7). y′ −

= x ln x ;

Отв. y =

x 2 ln x

x ln x

y′sin x − y cos x = 1					Отв. y = − cos x
8).	π		= 0		Отв. y = − cos x
8).	π
y		2
9). y′		+ ytgx =		1	Отв. y = sin x − cos x

				cos x
				cos x
				y(π) = 1

3.2.13. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.

Отв. y = −2 + x ln x + C x

3.2.14. Найти линию, у которой площадь треугольника, построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой точке, есть

величина постоянная, равная а2 .

Отв. y = C x ± a 2 2 x

3.2.15. Точка массой равной m движется прямолинейно, на нее действует сила, пропорциональная времени (k1 ), прошедшему от момента, когда скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости (k). Найти зависимость скорости от времени.

t −

−

Отв. v =

e m

3.2.16. Найти общее решение уравнений

1). y′ +

2 y

= 3 x 2 y4 3 ;

Отв. y−1 3 = C x 2 3 −

x 3 .

2). y′ −

Отв. y =

x −1

;

C − x

x −1

3). y′ +

2 y

;

Отв. y1 2 − tg x =

ln cos x + C

cos2 x

4). 4 x y′ + 3 y = −e x x 4 y3 ;

Отв. y−4

= x 3 (e x + C).

5). xy′ + y = xy2 ln x;

Отв. y = −

x(C + ln 2 x)

3.2.17. Найти частные решения уравнений

y′ + y = e x 2

1).

;

−x

y(0) = 1

Отв.

y = e

+1 .

y′

3 x 2 y

y2 (x 3

1)sin x

Отв.

y =

sec x

+ x 3 +1 =

2).

;

x 3 +1

y(0) = −1

3.2.18. Найти общий интеграл.

1). (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 ;

Отв.

x 2 + x sin y − cos y = C

2). (3x 2 y + sin x)dx + (x 3 − cos y)dy = 0 ;

Отв.

x 3 y − cos x − sin y = C

3). (e x +y + 3x 2 )dx + (e x +y + 4 y3 )dy = 0 начальное условие: y(0) = 0

4).

5).

6).

7).

						Отв. ex +y + x 3 + y4 = 1
	2		2		x
(2 x y e x		+ ln y)dx + e x		+		dy = 0 , начальное условие:	y(0) = 1
(2 x y e x		+ ln y)dx + e x		+		dy = 0 , начальное условие:	y(0) = 1

					y
						Отв. y e x 2 + x ln y = 1
y dx − x dy + ln x dx = 0.						(µ = ϕ(x))
						Отв. y = C x − ln x −1
(x 2 cos x − y)dx + x dy = 0,						( µ = ϕ(x))
(x 2 + y)dx − x dy = 0						Отв. y = x(C − sin x)
(x 2 + y)dx − x dy = 0

Отв. x − y = C x

3.2.19. Решить уравнения


1). y′′′sin 4 x = sin 2x ;	Отв. y = ln			sin x	+ C1x 2 + C2 x + C3
1). y′′′sin 4 x = sin 2x ;	Отв. y = ln			sin x	+ C1x 2 + C2 x + C3

2). y′′ = 2 sin x − cos2 x − sin 3 x ;	Отв. y =	1	sin 3 x + C1x + C			2
2). y′′ = 2 sin x − cos2 x − sin 3 x ;	Отв. y =		sin 3 x + C1x + C			2
	3

3). y′′ = x + sin x ;

y =

− sin x + C1x + C2

Отв.

4). y′′ = ln x ;

x 2

Отв.

y =

ln x −

+ C1x + C2

5). (1 − x 2 )y′′ − x y′ = 2 ;

Отв. y = arcsin 2 x + C1 arcsin x + C2

6). (1 + x 2 )y′′ +1 + y′2 = 0 ;

Отв.

y = (1 + a −2 )ln(1 + C1x) −

x + C2

7). y ′′(2y + 3) = 2y′2 ;

Отв.

ln(2y + 3) = C1x + C2

8). y y′′ − y′2

= y2 ln y ;

Отв. ln y = C1 e x

+ C2 e−x

9). 3y′2 = 4y y′′ + y2 ;

y = C

−

Отв.

cos

3.2.20. Найти частные решения

y ′′′= x e−x

Отв.

y = −(x + 3)e−x

x 2 + 3

1). y(0) = 0, y′(0) = 2, y ′′(0) = 2

y′v = cos2 x

2). y(0) =

, y′(0) = 0,

Отв.

x 4 +

x 2 +

cos 2x

y ′′(0) =

y ′′′(0) = 0;

y ′′(x 2 + 1) = 2xy′

Отв.

y = x 3 + 3x +1

3). y(0) = 1, y′(0) = 3;

4). y ′′=

y′

x 2

Отв. y =

x 2

−

y′

y(0) = 0, y′(2) = 4;

y y ′′− y′2

= 0

5). y(0) = 1, y′(0) = 2;

Отв. y = e2 x

y3 y ′′= −1

6). y(1) = 1, y′(1) = 0;

Отв. y = 2x − x 2

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2923 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc