УМК

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

на точку действует внешняя сила F = A sin ωt .

Отв. x = C1 cosβt + C2

sin ωt , если ω ≠ β =

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2924 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

3.2.21. Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны на ось 0Y есть величина постоянная, равная a .

	y			sec	x
Отв. e	a	= C	2			+ C	1

				a

3.2.22.Тело, находившееся в начальный момент в жидкости, погружается

внее под действием собственного веса без начальной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела. Найти закон движения тела, если его масса m .


	m	2 g		k t

Отв. S =			e m

	k	2

		m g t
−1	+	m g t
−1	+
		k
		k

3.2.23. Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы m , если известно, что работа силы, действующей в направлении движения и зависящей от пути, пропорциональна времени, протекшему с момента начала движения. Коэффициент пропорциональности равен k .


	m	2k		3
	m	2k
Отв. S =			t + C		−
Отв. S =	3k		t + C		−
	3k	m

3.2.24. Понизить порядок и проинтегрировать уравнение y′′sin 2 имеющее частное решение y = ctg x .

	y′			Отв. y = C2 + (C1 −C2 x)ctgx
3.2.25. Уравнение y ′′−		+	y	= 0 имеет частное решение
			x 2
	x

Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.

x = 2y ,

y = x .

Отв. y =	1	x ln 2 x + C1 x ln x + C					2 x
Отв. y =		x ln 2 x + C1 x ln x + C					2 x
2
3.2.26. Уравнение y′′ + (tgx − 2 ctgx)y′ + 2y ctg 2 x = 0			имеет частное
решение y = sin x . Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.
Отв. y = C1 sin x + C2 sin 2 x
3.2.27. Подобрав одно частное решение уравнения, найти обще решение
y′′ − y′ tgx + 2 y = 0 .
				π		x
Отв. y = C1 sin x + C2 1 − sin ln tg					+
Отв. y = C1 sin x + C2 1 − sin ln tg					+	2
				4		2

3.2.28. Подобрав одно частное решение уравнения, найти общее решение

y ′′− y′ + y = 0 . x

Отв. y = C1x + C2 x∫

e x dx

x 2

+ C2 e−3x

3.2.29.

Показать,

что

y = C1e3x

является

общим

решением

уравнения y′′ − 9 y = 0 .

3.2.30.

Уравнению y′′ − y = 0

удовлетворяют

два

частных решения

y = sh x, y2

= ch x . Составляют ли они фундаментальную систему?

3.2.31.

Можно

ли

составить

общее

решение

уравнения

(x ≠ 0)

y ′′

y′ + 1 −

= 0

по

двум

его

частным

решениям

4x 2

y′ =

sin x, y2

cos x ?

3.2.32. Найти общее решение

1).

y''−y'−2y = 0.

Отв. y(x) = C1e−x + C2 e2x ;

2).

y''+16y = 0.

Отв. y(x) = C1 sin 4x + C2 cos 4x;

3).

y''−y'= 0.

Отв. y(x) = C1 + C2 ex ;

4).

y'''−2y''+y = 0.

1−

y(x) = C1e x

+ C2 e

x + C3e

x ;

Отв.

5). y(4) −16 y = 0

Отв. y(x) = C1e −2x

+ C 2 e 2x

+ C 3 cos 2x + C 4 sin 2x

6).

y(4)

+ 5 y''+4y = 0.

Отв.

y(x) = C1 sin x + C2 cos x + C3 sin 2x + C4 cos 2x

y(4) + 20 y''+25y = 0.

Отв. y(x) = C1 cos

7).

3x + C2 sin 3x +

+ C3 cos

9x + C4 sin

8).

y(4)

+ 2 y''+y = 0.

Отв. y(x) = (C1 + C2 x)cos x + (C1 + C2 x)sin x

9). y′′ +10y′ + 25y = 0

Отв. y = (C1 x + C2 )e−5 x

10). y′′ + y′ + y = 0

−

y = e

+ C2

Отв.

sin

C1 cos

3.2.33. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины и удлиняют ее относительно ненагруженного состояния на a . Найти закон движения одного

груза, если второй сорвется.

Отв. x(t) = a cos

t .

3.2.34. Найти общее решение y ′′+ 5y′ + 6y =

1 + e2x

Отв. y = C1 e−2x + C2 e−3x +

e−2x

(ln(1 + e2x )− e−2x

+ e−3x arctg(e x ))

3.2.35. Найти общее решение y′′ + 4y = ctg x .

Отв. y = C1 cos 2x + C2 sin 2x +

sin 2x +

cos x − ln

sin x

−

sin 2 x

3.2.36. Найти общее решение 4y ′′+ y =

cos

Отв. y = C1 cos

+ C2 sin

+ 4 cos 2x ln

cos

3.2.37. Найти общее решение y′′ − 6y′ + 9y = 2x 2 − x + 3 .

Отв. y = (C1 + C2 x)e2x +

x 2 +

x +

3.2.38. Найти общее решение y′′ − 3y + 2y = 3e2 x .

Отв. y = C1 e x

+ C2 e2x

+ 3x e2 x .

3.2.39. Найти общее решение 2y′′ + 5y′ = e x

e−

x +

Отв. y = C1 + C2

e x .

ctg x

3.2.40. Найти общее решение y ′′+

y′ + y =

Отв. y = C1

sin x

+ C2

cos x

sin x

3.2.41. Найти решение

уравнения

y′′ + y = tg x ,

удовлетворяющее

краевым условиям y(0) = y π

= 0.

Отв. y =

ln 3sin x − cos x ln tg

4 .

3.2.42. Найти частное решение уравнения y′′ + y + sin 2x = 0 , удовлетворяющее начальным условиям y(π) = y′(π) = 1.

Отв. y = 1 sin 2x − 1 sin x − cos x . 3 3

3.2.43. Найти общее решение уравнения

1).

y''+4y = 5e x .

Отв. y = e x

+ C1 cos 2x + C2 sin 2x

x''−2x = te −t .

Отв. x = (2 − t)e −t + C1 e −

2).

2t + C 2 e t 2 .

3).

y''+ y'−2y = 4x 2 .

Отв. y = C1 e−2x + C2 e x − 2x 2 − 2x − 3.

4).

y''−2 y'+y = xe x .

Отв. y = e x (C1 + C 2 x + x 3

6).

5).

y'−2 y'+5y = 5e x sin 2x.

Отв. y = e x (C1 sin 2x + C2 cos 2x −

− xex (sin 2x + 2 cos 2x))

3.2.44. Решить задачу Коши:

x'''+ x''= e-t ,

1).

= -2, x'(0) = 0, x(0)

= 1.

Отв. x(t) =1 − t + te

x''(0)

2).

4y' ''+ y'= 2 sin

Отв. y(x) =

4 + cos

− x sin

y''(0) = -

, y'(0) = 0, y(0)

y′′ − y = 2 shx

Отв. y = x chx

3). y(0) = 0, y′(0) = 1

3.2.45. Определить закон движения материальной точки массы m , перемещающейся по прямой под влиянием восстанавливающей силы, направленной к началу отсчета перемещений и прямо пропорциональной расстоянию точки от начала отсчета, если сопротивление среды отсутствует, а

x′ = 4y − 2x,

3.2.46. Найти общее решение системы уравнений: y′ = 3y − x.

Отв. x = C1e −t + C2 e2 t , y = 1 C1e−t + C2 e 2t . 4

x′

= −3x − y,

x(0) =1, y(0) = −1.

3.2.47. Найти решение задачи Коши:

y′ = x − y.

Отв. x = e−2t , y = −e−2t .

3.2.48. Найти общее решение системы уравнений

x'−x − 7y + 5 = 0,

2 y'+x + y − z = 0,

3z'−x + 2y − z = 0.

C3 − C2

C3 + C2

Отв. x = C

+ C

cos(t) + C

sin(t), y = 2C +

cos(t) −

sin(t),

C2 + C3

C2 − C3

z = 3C

−

cos(t) +

sin(t).

y′

= −2y − 3z

3.2.49. Найти общее решение системы уравнений

z′

= −y

Отв. y = C1e−3t + C2 e t ,

y =

C1e−3t − C2 e t .

u′

= 2y + 4v,

3.2.50. Найти общее решение системы уравнений

v′ = −u − 2v.

Отв.

u =C1 (1 + 2x) − 2C2 , y = −C1x + C2 .

3.2.51. Выяснить, являются ли приведенные ниже равенства

дифференциальными уравнениями в частных производных:

а) Ln

U x U y

− Ln

U x

+ 5U − 6 = 0;

б) sin 2 (U xx + U xy ) + cos 2 (U xx

+ U xy ) − U = 1;

в) U xy + U y + U − xy = 0 .

Ответы: а) нет; б) нет; в) да.

3.2.52. Определить порядок уравнений:

а) 2(U x − 2U) U xy −

∂

(U x − 2U)2 − xy = 0 ;

∂ y

б)

∂

(U 2

− U

)− 2 U

∂

− U

− 2 U

+ 2 = 0 .

∂ x

∂ y

Ответы: а) первый; б) второй.

3.2.53. Выяснить, какие из следующих уравнений являются линейными

(однородными или неоднородными) и какие нелинейными:

а) U xx U xy − 3U yy − 6 x U y − xy U = 0 ;

б)

∂

(y U y + U 2y )− 2 U x U xy + U x − 6 U = 0 .

∂ y

Ответы:

а) нелинейное уравнение;

б) линейное однородное.

3.2.54. Решить уравнения:

а)

∂ U

= x ;

б)

∂2 U

= 2y ;

в)

∂2 U

= 1.

∂ y

∂ y 2

∂ y ∂ x

Ответы: а)

U(x, y) =

x 2

+ ϕ(y 2 ) ;

б) U(x, y) =

+ y ϕ(x) + ψ (x) ;

в)

U(x, y) = ∫ ϕ(y) dy + ψ(x) + xy , где ϕ и ψ − произвольные функции.

3.2.55. Проверить, что функция

а) U(x, y) = x ϕ(x + y) + y ψ(x + y), где ϕ и ψ − произвольные дважды дифференцируемые функции, является общим решением уравнения

∂2 U	− 2	∂2 U	+	∂2 U	= 0 ;
∂x 2		∂x ∂y		∂y2

б) U(x, y) = ϕ(x + ay) + ψ(x − ay) является общим решением уравнения

∂2 U − a 2 ∂2 U = 0 ;
∂y2	∂x 2

в) U(x, y) = ϕ(2x − t)+ ψ(2x + t)− общее решение уравнения

2x	∂2 U	+	∂U	−	∂2 U	= 0 .
	∂x 2		∂x		∂y2

В задачах 3.2.56 – 3.2.58 определить тип уравнений и привести их к каноническому виду

3.2.56. x 2 U xx − y U yy = 0.

Ответ: U ηη = 0; ξ = y , η = y . x

3.2.57. U xx	+ 2 U x y − 3 U y y + 2U x	+ 6U y			= 0 .
	Ответ: U ξ η	+	1	U ξ	= 0; ξ = x + y, η = 3x − y .
	Ответ: U ξ η	+		U ξ	= 0; ξ = x + y, η = 3x − y .
		2
3.2.58. U xx	− 2U xy + 2U yy = 0 .
	Ответ:	U ηη + U ξ ξ = 0; ξ = x + y; η = x .

3.2.59. Упругий прямолинейный стержень длины l выведен из состояния покоя тем, что его поперечным сечениям в момент времени t = 0 сообщены малые продольные смещения и скорости. Предполагая, что поперечные сечения стержня все время остаются плоскими, поставить задачу для определения продольных колебаний сечений стержня при t > 0 . Рассмотреть случаи:

а) концы стержня закреплены жестко;

б) концы движутся в продольном направлении по заданному закону;

в) к концам приложены заданные силы;

г) концы свободны;

д) концы закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает со стороны заделки действия продольной силы, пропорциональной смещению и направленной противоположно смещению. Сделать математическую подстановку задачи.

Ответы:

а)	Utt (x, t) = a2 Uxx (x, t) , 0 < x < l , t > 0
	a2 = E ρ, E - модуль упругости,		ρ - плотность стержня
	U(x,0) = ϕ(x) ,	U t (x,0) = ψ(x) ,	0 < x < l
	U(0, t) = U(l, t) = 0, t > 0 ;
б)	U tt (x, t) = a 2 U xx (x, t) .
	U(x,0) = ϕ(x) ,	Ut (x,0) = ψ(x) ,	0 < x < l
	U(0, t) = µ1 (t) ,	U(l, t) = µ2 (t) , t > 0 ;
	где µ1 (t) и µ2 (t) - заданные функции;
в)	Utt (x, t) = a 2 Uxx (x, t) .
	U(x,0) = ϕ(x) ,	Ut (x,0) = ψ(x) ,	0 < x < l

	Ux	(0, t) = −		F1 (t)		,	Ux (l, t) =	F2 (t)	, t > 0 ;

				E S				E S
	где F1 (t) и F2 (t) - внешние силы, приложенные к концам стержня,
S - площадь поперечного сечения.
г)	Utt = a2 Uxx .
	U(x,0) = ϕ(x) , U t (x,0) = ψ(x) , 0 ≤ x ≤ l
	Ux (0, t) = 0 , Ux (l, t) = 0 , t > 0 ;
д)	Utt = a2 Uxx .
		U(x,0) = ϕ(x) , U t (x,0) = ψ (x) , 0 ≤ x ≤ l
		Ux (0, t) − h U(0, t) = 0 ,
		Ux (l, t) + h U(l, t) = 0 ,
		h =	K
	где				, К –		коэффициент упругости заделки.
			E S

3.2.60. Поставить задачу о малых поперечных колебаниях струны длины l с закрепленными концами, которая оттягивается в точке x = C на небольшое расстояние h от положения равновесия и в момент t = 0 отпускается без начальной скорости. Сделать математическую подстановку задачи.

Ответ: Utt	= a2 Uxx
U(0, t) = U(l, t) = 0,						U t ( x ,0 ) = 0
	h				0 ≤ x ≤ c
U(x,0) =				x,

		c
			x − l		, c	l

	h c − l					≤ x ≤ .
3.2.61. Однородная струна длины l, закрепленная на обоих концах,
находится в прямолинейном						положении равновесия. В момент t = 0 она

получает удар от плоского молоточка, имеющего постоянную скорость V0 .

Поставить задачу для определения отклонения U(x, t) струны при t > 0 , если

ширина молоточка равна , а его центр ударяет в точке x = c . Сделать h

математическую подстановку задачи.

Ответ: Utt = a2 Uxx ,	U(0, t) = U(l, t) = 0 , U(x,0) = 0 ,
0,	0 ≤ x < c − π 2h
U t (x,0) = V0 ,	c − π 2h < x < c + π 2h
0,	c + π 2h < x ≤ l.

Используя формулу Даламбера, найти решение U(x, t) следующих задач Коши ( − ∞ < x < ∞, t > 0 ), в задачах 3.2.61 – 3.2.64.

3.2.62. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, изображенным на рис. 3.1. Построить профиль струны в моме1

- с		0	с

Рис. 3.1.

Ответ: ψ (x) = 0, U(x, t) = ϕ(x + at) + ϕ(x − at) . 2

3.2.63. Найти решение уравнения Ux x = Ut t при начальных условиях

U(x,0) =	x	,
	1 + x2

Ut (x,0) = sin x .

Ответ: U(x, t) =	1		x + t

			+ (x + t)2
2		1

+	x − t	+ sin x sin t .

	+ (x − t)2
1

3.2.64. Найти форму струны, определяемую уравнением

∂2 U = a 2 ∂2 U , ∂t2 ∂x2

в момент времени t = π (2a), если
а)	U(x,0) = sin x,	Ut (x,0) = 1;
б)	U(x,0) = sin x,	Ut (x,0) = 0 ;
в)	U(x,0) = 0, Ut (x,0) = 1
		Ответ: а) U = π (2a ); б) U = 0; в)	U = π (2a).
3.2.65. Полуограниченному упругому стержню 0 < x < ∞ со свободным
концом	x = 0 сообщена	начальная осевая скорость, равная	υ0 на отрезке
[c, 2c]	и нулю вне этого отрезка.

Величину продольного смещения U (x, t) поперечных сечений стержня можно откладывать для наглядности в направлении, перпендикулярном к оси

OX , т.е. поступать так же, как это делается в случае струны. Пользуясь этим приемом изображения, начертить график U = U (x, t) для моментов времени

t = 0, ca .

Ответ: Решение задачи Коши для полубесконечной области может быть найдено с помощью формулы Даламбера при четном продолжении начальных условий.

U (x, t) = ψ (x + at) − ψ (x − at),

			0,

	1	z	ϑ0	,
где ψ(z)=	1	∫ϕ(α)dα ,	ϕ(z)= 0,
где ψ(z)=	2a	∫ϕ(α)dα ,	ϕ(z)= 0,
	2a	−2c	ϑ ,
			ϑ ,
			0

-2с	-с	0

−∞ < z < −2c

−2c < z < −c

−c < z < c c < z < 2c

2c < z < ∞ .

ϑ0с

с 2с

Рис. 3.2.

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2924 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc