Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 293 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

II способ. Уравнение Бернулли, не приводя его предварительно к линейному, можно сразу решать методами Бернулли или Лагранжа, описанными в предыдущем параграфе 1.5.

ПРИМЕР 1.12 Решить уравнениеx2 y2 y′ + xy3 = 1. Решение. Разделив обе части уравнения на x2y2:

y′ +

x 2

убеждаемся,

что

это уравнение Бернулли,

где

P(x) =

, Q(x) =

, α = −2.

Применив замену

y=uv,

y′ = u′v + v′u , имеем

u′v + v′u +

или

x 2u 2 v2

u′v + u v′ +

Получаем

два

уравнения

разделяющимися

x 2 u2 v2

переменными:

v′ +

= 0

и 2) u′v =

Из первого уравнения, находим

x2 u 2 v2

v(x) – частное решение:

= 0;

ln v + ln x = 0; vx = 1;

v =

. Найденное

u′

v подставляем во второе уравнение, находим u(x, c) - общее решение.

где u′ =

. Разделяя переменные u 2du = xdx, интегрируя

x 2

получим

u = 3

x 2 + C . Так как

y = u v , то y = 3

x2 + C

или

y = 3

общее решение заданного уравнения Бернулли.

1.7 УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.

ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.19 Если левая часть уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

(1.9)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то уравнение (1.9) называется уравнением в полных дифференциалах. В этом

случае его можно переписать в виде dU(x,y)=0. Отсюда

U(x,y)=C.

(1.10)

Это общий интеграл данного уравнения.

Для того, чтобы уравнение (1.9) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D, в

которой функции P(x, y) и Q(x, y) определены, непрерывны				и имеют
непрерывные частные производные		∂P(x, y) и	∂Q(x, y), было	выполнено
		∂y	∂x
условие
∂P =	∂Q .			(1.11)
∂y	∂x

В том случае, когда условие (1.11) выполнено, общий интеграл уравнения (1.9) можно записать в виде

x∫	y
x∫	P(x, y)dx + ∫ Q (x0 , y)dy = C	(1.12)
x 0	y 0

или

x	y
∫ P (x, y0 )dx + ∫ Q(x, y)dy = C		(1.13)
x 0	y0

где (x0;y0) - фиксированная точка области D, в которой функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны.

Если же условие (1.11) не выполнено, то уравнение (1.9) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию

(x, y), которая называется интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко находится в следующих двух случаях: 1) когда он зависит только от x , т.е. = (x); 2) когда он зависит только от y , т.е.

= (y). Первый из этих случаев имеет место, если отношение

∂P − ∂Q

∂y ∂x = ϕ(x)

является функцией только от x; тогда интегрирующий множитель находится по формуле

			∂P − ∂Q
µ(x)= e∫	ϕ(x )dx	∫	∂y ∂x	dx	(1.14)
			Q
		или µ(x)= e

Второй случай имеет место, если отношение

∂P − ∂Q

∂y ∂x = Ψ(y)

является функцией только от y; тогда интегрирующий множитель определяется по формуле

∂P −

∂Q

µ(y)= e− ∫Ψ(y )dy или

µ(y)= e−∫

∂y

∂x

(1.15)

dy .

ПРИМЕР 1.13 Найти общий интеграл уравнения

2x cos2 ydx + (83

− x2 sin 2y)dy = 0

P(x, y)= 2x cos2 y, Q(x, y)= 83

− x2 sin 2y ;

Решение.

Здесь

находим

∂P(x, y) = 2x(− 2 sin y cos y)= −2x sin 2y,

∂Q(x, y) = −2x sin 2y.

Следовательно,

∂y

∂x

это уравнение

является

уравнением

полных

дифференциалах. Его общий

∫2x cos2 ydx + ∫(8 3

− x0 sin 2y)dy = c .

интеграл

находим по формуле (1.12)

x 0

y 0

Возьмем

качестве точки

( x0 ; y0 )

начало

координат

(0; 0):

∫2x cos2 ydx + ∫83

ydy = C, или x2 cos2 y + 6y3 y = C .

ПРИМЕР 1.14 Найти общий интеграл уравнения

ydx + x(ln x − y3 )dy = 0 .

Решение.

Здесь

P(x,y)=y,

Q(x, y) = x(lnx − y3 ) .

Так

как

∂P = 1,

∂y

∂Q =1 + ln x − y3 , то условие полного дифференциала не выполняется. Проверим,

∂x

не допускает ли это уравнение интегрирующего множителя. Поскольку

∂P −	∂Q		1 −1 − ln x + y3
∂y	∂x		1 −1 − ln x + y3	1		= ϕ(x), приходим к выводу,
		=	x(ln x − y3 )	= −			что данное
Q		=	x(ln x − y3 )	= −	x		что данное

уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x. Найдем его:

µ(x) = e∫ ϕ(x )dx

= e−∫

= e−ln x = eln

. Умножая обе

части

исходного

= 1/ x ,

уравнения

на

найденный

интегрирующий множитель

получаем

уравнение

dx + (ln x − y3 )dy = 0,

которое, как нетрудно проверить, уже будет

уравнением в полных дифференциалах. Решим это уравнение по формуле (1.12):

(ln x 0

− y3 )dy = C .

∫

dx +

∫

Взяв в качестве точки (x0;y0)

точку (1;0), имеем

x0 x

(− y3 )dy = C, (ln1 = 0)

∫

dx + ∫

y ln

−

= C,

следовательно,

y ln x − y4 = C. Это и есть общий интеграл данного уравнения.

1.8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.20 Дифференциальное уравнение вида

F(x, y, y′, y ′′,…, y(n ) ) = 0

(1.16)

называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

y(n ) = f (x, y, y′, y ′′,..., y(n −1) ).

(1.17)

Все ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.21 Решением ДУ (1.16) называется любая n - раз

дифференцируемая

функция

y = ϕ(x),

которая

обращает

это

уравнение в

тождество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.22 Общим решением ДУ (1.16) называется функция

y = ϕ(x, c1, C2 ,..., Cn ),

где C1, C2,…,C n

- произвольные,

не зависящие

от x

постоянные, удовлетворяющая условиям:

y = ϕ(x, C1, C2 ,..., Cn )

является

решением

ДУ

для

каждого

фиксированного значения C1, C2,…,C

Каковы бы ни были начальные условия

x =x 0

= y

, y′

= y′ , ..., y(n )

= y

(n )

(1.18)

x =x 0

существуют единственные

значения

постоянных

= C

0 , C

= C

0 ,...,

y = ϕ(x, C

0 )

= C

такие,

что

функция

0 , C

0 ,..., C

является

решением

уравнения (1.16) и удовлетворяет начальным условиям (1.18).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.23 Всякое решение y = ϕ(x, C

0 , C

,..., C

0 )

уравнения

(1.16), получающееся из общего решения y = ϕ(x, C1, C2 ,..., Cn ) при конкретных

значениях

постоянных

= C 0

, C

= C

0 ,..., C

= C

0 , называется

частным

решением.

Задача нахождения частного решения ДУ (1.16), удовлетворяющего

начальным условиям (1.18), называется задачей Коши.

Теорема 1.2 (существования и единственности задачи Коши).

Если

уравнении

(1.17)

функция

f (x, y, y′, y ′′,..., y(n −1)) и её

частные

производные f y′, f y′′, f y ′′′,..., f y (n−1)′

непрерывны в некоторой области D изменения

переменных

x, y, y′,..., y(n −1), то

для

всякой точки

(x0 , y0 , y0′, ,..., y0

(n −1)) D

существует единственное решение y = ϕ(x) уравнения (1.17), удовлетворяющее начальным условиям (1.18). Без доказательства.

Проинтегрировать (решить) ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию решения ДУ на примере ДУ 2- го порядка F(x, y, y′, y′′)= 0 . График всякого решения такого ДУ называется интегральной кривой. Общее решение есть множество интегральных кривых; частное решение - одна интегральная кривая этого множества, проходящая через

y′′ = f (x)

точку (x0,y0) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом y′(x0 ) = y′0 и кривизной y′0′ = y′′(x0 ) .

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений n -го порядка.

1.9 УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Суть метода решения состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого меньше.

Рассмотри три типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Уравнение вида

y(n ) = f (x)

решается последовательным n - кратным интегрированием. При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате - n произвольных постоянных.

Уравнение второго порядка решается последовательным интегрированием 2 раза.

y′ = ∫f (x)dx + c1

или

y′ = F1 (x)+ c1,

y = ∫(F1 (x)+ c1 )dx + c2

или

y = ∫F1 (x)dx + c1x + c2 .

ПРИМЕР 1.15 Решить уравнение y ′′′=

Решение.

Последовательно интегрируя данное уравнение, имеем

y ′′= ∫

или

y ′′= −

+ C1,

y′ =

∫

−

+ C1

dx или y′ =

+ C1x + C2

y = ∫

+ C1x + C2 dx =

+ C

2 x + C3. Обозначим

C1 =

, тогда

y= 1 ln x + C1x 2 + C2 x + C3 - общее решение.

2.Дифференциальные уравнения n-го порядка

F(x, y(k ), y(k +1),..., y(n ))= 0,

(1.19)

не содержащее явно искомой функции y и ее младших производных до

(k −1) порядка включительно, допускает понижение порядка на k единиц с помощью подстановки y(k ) = p(x). Тогда p′(x)= y(k +1),


p ′′(x) = y(k +2),..., p(n −k ) (x) = y(n )					и	уравнение	(1.19)	приводится	к
F(x, p, p′, p ′′,..., p(n −k ) )= 0 .						F(x, y′, y′′) = 0 , не содержащее явно
	Например, ДУ второго порядка
искомой функции y ,				при помощи подстановки y′ = p(x), откуда y′′ = p′					или
y ′′=	dp		преобразуется	в уравнение первого			порядка	F(x, p, p′)	или

	dx
		dp
F x, p,			= 0 . Здесь x	- независимая переменная,			p - новая искомая функция.

		dx

	y′
ПРИМЕР 1.16 Решить уравнение xy ′′= y′ ln		+1 .
ПРИМЕР 1.16 Решить уравнение xy ′′= y′ ln	x	+1 .
	x

Решение.

Данное уравнение не содержит искомой функции

y .

Положим

y′ = p(x),

y′′ = p′ , где p′ =

xp′

тогда

и уравнение примет вид

= p ln

+1 ,

p′ =

или

+1 . Таким

образом, мы получили однородное уравнение

первого порядка. Введем вспомогательную функцию t(x):

t =

, откуда p = tx,

p′ = t′x + t

(x′ = 1)

и, следовательно, приходим к уравнению

t′x + t = t(ln t + 1)

или t′x = t ln t ,

где t′ =

. Интегрируя, имеем

C x

= ln

ln t

, откуда C x = ln t

t = eC1x .

переменной p ,

т.е. заменяя t

или

Возвращаясь к

на

получим

= eC1x .

Так

как

p = y′,

то

y′ = xeC1x . Проинтегрировав это уравнение

первого порядка

y = ∫ xeC1x dx,

найдем общее решение

исходного уравнения

y =

xeC1x −

eC1x + C2 .

Дифференциальные уравнения n-го порядка

F(y, y′, y ′′,..., y(n ) )= 0,

(1.20)

не содержащее явно независимой переменной x.

Здесь порядок уравнения понижается на единицу путем замены двух переменных: в качестве новой искомой функции мы выбираем p = y′ , где p = p(y), а за новую

независимую переменную - y. Тогда y′′ = p p′ или y′′′′= p dp . dy

Если ДУ не содержит явно независимой переменной x, искомой функции y и её первых (k-1) производных, то есть, если ДУ имеет вид F(y(k ), y(k +1),..., y(n ))= 0, то порядок уравнения можно понизить на (k+1) единиц, применяя сначала подстановку y(k ) = z(x), а затем z′ = p(y).

Например, ДУ второго порядка, не содержащее независимой переменной

x , т.е.

F(y, y′, y′′)= 0

при

помощи подстановки

p = y′,

где

p = p(y)

y ′′= p p′ = p

сводится к уравнению первого порядка F(y, p, p p′)= 0 .

ПРИМЕР

1.17

Найти

частное

решение

уравнения

2yy′3 + y ′′= 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям y(0)= 0, y′(0)= −3.

Решение.

Полагая

y′ = p(y), откуда y ′′= p

преобразуем

данное

уравнение

виду

2yp3 + p

= 0, или

= −2y dy.

Интегрируя,

имеем

= y2 + C , p =

так

как p = y′ =

то

Используя

+ C1

dx y2 + C1

начальные

условия:

y = 0 , y′ = −3 ,

получим

− 3 = 1/ C1,

т.е.

C1 = −1/ 3 .

Следовательно,

, или (y2 −1/ 3)dy = dx. Интегрированием находим

y2 −1/ 3

(y3 − y)/ 3 = x + C2 .

Используя

теперь

начальное

условие y(0)= 0 ,

найдем

C2 = 0 . Таким образом, искомое частное решение имеет вид

y3 − y = 3x .

1.10. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.24 ДУ n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности искомой функции y и ее производных y′, y′,..., y(n ), т.е. имеет вид

a0 y(n ) + a1y(n −1) + ... + a n y = f (x),

(1.21)

где a0,a1,…,a n,f(x) заданные функции от x или постоянные, причем a0 ≠ 0 для всех значений x из области, в которой рассматривается уравнение (1.21).

Функция f(x), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.25 Если f(x) ≠ 0 , уравнение (1.21) называется

неоднородным линейным уравнением или	уравнением с правой частью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.26 Если f(x)=0,	уравнение называется	однородным
линейным или без первой части и имеет вид
a0 y(n ) + a1y(n −1) + ... + a n y = 0.		(1.22)

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями второго порядка

y′′ + a1y′ + a 2 y = 0 .	(1.23)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.27 Два решения уравнения (1.23) y1(x) и y2(x)
называются линейно независимыми на отрезке	[a;b], если их отношение не

является постоянным на этом отрезке, т.е. y1 ≠ const . y 2

В противном случае решения называются линейно зависимыми. ПРИМЕР 1.18 Рассмотрим линейное однородное уравнение 2-го порядка

y′′ - y = 0 . Функции

ex , e-x ,3ex

являются

решениями

данного

уравнения,

это

легко

проверяется

подстановкой

их

уравнение.

При

этом функции

ex и e-x

линейно независимы,

т.к.

отношение

= ex ex

= e2x ≠ const

при

e− x

изменении x. Функции же ex и 3ex линейно зависимы, т.к.

= const.

3ex

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.28 Если y1,y2,…,y

n-функции от x, то определитель

........yn

W(y , y

,..., y

) =

y′

........y′

............................

y(n −1)

y(n −1)...y

(n −1)

называется определителем Вронского или вронскианом.

x =β = 0, y′ x =β = 0 .

Для функций y1 и y2 вронскиан имеет вид W(y , y

y1 y2

= y y′

− y

y′ .

y′ y′

1 2

Теорема 1.3 Если функции y1 и y2 линейно зависимы на отрезки [a; b], то

определитель Вронского на этом отрезке равен нулю.

Доказательство. Т.к. y1 и y2

- линейно зависимы на [a; b], то y2= λ y1 , где

λ = const , и y′2 = λy1′ , тогда

y1 λy1

W(y , y

= λ

= 0.

y′

λy′

y′

Теорема 1.4 Если решения y1 и y2 уравнения (1.23) линейно независимы на отрезке [a; b], то определить Вронского W(y1,y2), составлений для этих решений, не обращается в ноль ни в одной точке указанного отрезка.

Доказательство. Предварительно заметим следующее. Функция y=0 есть решение (его называют нулевым или тривиальным) уравнения (1.23) на отрезке

[a; b], удовлетворяющее начальным условиям y x = x 0 = 0, y′ x =x 0 = 0 , где x0 -

любая точка отрезка [a; b]. Из теоремы существования и единственности (1.2), которая применима к уравнению (1.23), следует, что не существует другого решения уравнения (1.23), удовлетворяющего начальным условиям

y x = x 0 = 0, y′ x =x 0 = 0 .

Из этой теоремы также следует, что если решение уравнения (1.23) тождественно равно нулю на некотором отрезке или интервале (α, β), принадлежащем отрезку [a; b], то это решение тождественно равно нулю на всем отрезке [a; b]. Действительно, в точке x = β (и в точке x = α ) решение

удовлетворяет начальным условиям y

Следовательно, по теореме единственности оно равно нулю в некотором интервале β − d < x < β + d , где d определяется величиной коэффициентов уравнения (1.23). Таким образом, расширяя интервал каждый раз на величину d, где y ≡ 0, мы докажем, что y=0 на всем отрезке [a; b].

Теперь приступим к доказательству самой теоремы (1.4). Допустим, что W(y1,y2)=0 в некоторой точке отрезка [a; b]. Тогда по теореме (1.3) W(y1,y2) будет

равен нулю во всех точках отрезка [a; b]: W=0 или y

y′

− y

y′

= 0.

Допустим, что y1 ≠ 0 на отрезке

[a; b].

Тогда на

основании последнего

y y′

− y

y′

= 0

′

= 0 ,

равенства можно написать

1 2

или

откуда следует

<<< < Предыдущая 1 23 / 293 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015683.52 Кб13УМК по КП. бак 30.10.2012.doc
#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб46УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc