4.8.7. Анализ сигналов по вейвлет-спектрограммам

Вейвлет-спектрограммами называют диаграммы типа «уровень-время», или, точнее, «уровень-индекс» для вейвлет-коэффициентов. Обычно такие спектрограммы строятся как графики поверхностей или графики линий равного уровня с функциональной закраской. На рис. 4.43 показана вейвлет-спектрограмма для примера, представленного выше.

Рис. 4.43. Вейвлет-спектрограмма сложного нестационарного сигнала

В нижней части вейвлет-спектрограммы представлены грубые разложения сигнала, а в верхней части - более точные, соответствующие большим значением L. И та и другая части спектрограммы могут использоваться для распознавания особенностей сигналов, как глобальных (грубых), так и самых тонких. Для пояснения этого на рис. 4.41 сверху спектрограммы построен график исходного сигнала.

Нетрудно заметить (особенно когда спектрограмма цветная), что на ней отражены малейшие нюансы сигнала с их четкой привязкой ко времени. Например, в верхней части спектрограммы отчетливо выделяются перепады импульса, хорошо видны все пики и точки перегиба синусоиды с возрастающей во времени частотой, можно сразу сделать вывод о характере нестационарности сигнала и оценить количественно изменение длительности периода прямоугольных и синусоидальных колебаний на вершине импульса.

Примененные в описанном примере вейвлеты Добеши 4 довольно грубые. Но даже в этом случае опытный пользователь может по вейвлет-спектрограмме распознать многие особенности сигнала, порою даже скрытые. Например, очень четко на вейвлет-спектрограммах выделяются даже незаметные разрывы во временной зависимости сигналов. Высококачественные вейвлет-спектрограммы позволяет строить система MATLAB с пакетом расширения Wavelets Toolbox.

Область применения вейвлет-спектрограмм весьма широка и охватывает такие сферы обработки сигналов, как:

• распознавание тонких особенностей сигналов и функций, в том числе на фоне шумов;

• обнаружение месторождений полезных ископаемых по данным геологоразведки;

• исследование климатических и иных изменений в жизни Земли и ее отдельных регионов;

• анализ рентгенограмм и томограмм в медицинской практике;

• выявление и предсказание экономических и социальных явлений;

• предсказание возможных катастрофических ситуаций и др.

Большой интерес представляет описание вейвлет-технологии обработки типичного временного ряда, демонстрирующего динамику изменения событий, характеризующих процесс Эль-Ньньо – глобального потепления океанических вод вблизи тихоокеанского побережья Центральной Америки. Эта работа была выполнена Н. М. Астафьевой. С помощью ряда как прямых измерений (примерно за последние 100 лет), так и косвенных событий процесс Эль-Ньньо удалось представить за весьма внушительный срок в 500 лет (это половина тысячелетия). Полученный при этом временной ряд и результаты его вейвлет-анализа в виде спектрограмм представлены на рис. 4.44 (данные за последнее столетие подчеркнуты).

Представленные на рис. 4.44 данные дают хорошую пищу для оценки процесса Эль-Ньньо и связанных с ним других процессов – например, процесса Южное Колебание. Из представленных данных можно сделать выводы о различных долговременных и кратковременных фазах процесса Эль-Ньньо, например, о периодах глубокого потепления, о 40-летних периодических циклах и о многих иных деталях этого сложнейшего процесса. Так вейвлеты способствуют открытию новых закономерностей.

Р ис. 4.44. График зависимости числа событий Эль-Ньньо от времени за 500 лет (a), спектрограмма вейвлет-коэффициентов (b) и распределение плотности энергии (c)

Из приведенных выше примеров видно, что вейвлеты являются весьма эффективным средством обработки сигналов и временных рядов. Зачастую они используются там же, где применяется БПФ, например, для очистки сигналов от шума (в простейшем случае ограничением уровня композиции), выделения нужных составляющих, компрессии сигналов и т. д. При этом расчеты, выходящие за рамки учебного курса, показывают, что вейвлеты делают это более эффективно, чем техника БПФ.