2.7.5. Примеры преобразований Фурье()
Пример 2.34. Для проверки преобразований Фурье зададим некоторый вектор X из 23 = 8 комплексных элементов и, проведя прямое преобразование с помощью функции cfft, получим новый вектор Y:
.
Пример 2.35. Проведем над полученным вектором Y обратное преобразование, используя функцию icfft:
.
Нетрудно заметить, что полученный таким двукратным преобразованием вектор XI полностью совпадает с исходным вектором X.
Прямое преобразование Фурье по существу означает перевод временной зависимости в ее частотный спектр. А обратное преобразование Фурье переводит частотный спектр вновь во временную зависимость. Между этими преобразованиями можно задать изменение спектра с помощью искажающих блоков - например, электрических цепей или фильтров при преобразовании электрических сигналов. В результате можно легко промоделировать прохождение сигналов через такие цепи (усилители, фильтры и т.д.).
Пример 2.36. Сформировать сложный сигнал, содержащий треугольный и прямоугольные импульсы, разложить его на гармоники прямым преобразованием Фурье и синтезировать по k=20 гармоникам новый сигнал. Такой синтез означает прохождение сигнала через идеальный фильтр нижних частот, отсеивающий все гармоники с номерами выше 20.
П
ример
решения этой задачи представлен на
рис. 2.8. Здесь исходный вектор задан
элементами действительного типа, поэтому
используются функции fft
и ifft.
Внизу документа представлены графики
исходного сигнала и синтезированного
по 20 его гармоникам нового сигнала.
Рис. 2.8. Применение БПФ для спектрального разложения и синтеза сложного сигнала
БПФ широко применяется при решении задач фильтрации сигналов или аппроксимации функций. При ограниченном числе гармоник приближение функции тригонометрическим рядом Фурье обеспечивает наименьшую среднеквадратичную погрешность, если при этом используется БПФ.
2.7.6. Альтернативные преобразования Фурье()
Рассмотренные выше функции основаны на обычных формулах преобразований Фурье. Однако существуют и альтернативные формы такого преобразования, две из которых показаны ниже:
.
Вместо
множителя
перед обоими выражениями перед первым
выражением стоит множитель 1/n,
а перед вторым — 1. Знак «минус» перед
показателем степени имеется только в
первой формуле (его нет во второй).
Альтернативные формулы преобразований
Фурье используются в функциях FFT(v),
IFFT(v),
CFFT(v)
и ICFFT(v).
2.8. Табличная интерполяция и аппроксимация
2.8.1. Теоретические основы интерполяции и экстраполяции
Пусть некоторая функция f(x) определена рядом своих узловых точек (xi, yi) на некотором отрезке [a, b]. Под интерполяцией мы будем подразумевать вычисление значений f(x) в любом промежутке [xi, xi+1] в пределах отрезка [a, b]. Соответственно любое вычисление f(x) вне отрезка [a, b] является экстраполяцией. Замена f(x) другой более удобной или простой функцией называется аппроксимацией.
Полиномиальная интерполяция (и аппроксимация) заключается в вычислении f(x) и вычисляется с помощью аппроксимирующего полинома:
fa(x)=anxn + an-1xn-1 + ... aixi + ... + a2x2 + a1x + a0.
Широко известные линейная и квадратичная интерполяции являются частными случаями полиномиальной интерполяции и выражаются соответственно формулами
f(x)лин = a1x + a0 и f(x)кв = a2x2 + a1x + a0.
Для узловых точек данных f(xi) можно составить систему линейных относительно an, an-1,...,a1, a0 уравнений вида, представляющего fa(x), так что в каждом уравнении x=xi и f(xi)=fa(xi). Из решения такой системы можно получить требуемые коэффициенты an, an-1,...,a1, a0 степенного многочлена (полинома). При этом значения полинома в узловых точках точно совпадают со значениями ординат в этих точках, а степень полинома на 1 меньше числа узловых точек.
Найденный полином является единственным и глобально аппроксимирует данные. Есть и более эффективные и особые способы полиномиальной аппроксимации и ряд форм полинома - в частности форма, известная как формула интерполяции по Лагранжу. Ее удобство в том, что в ней фигурируют лишь координаты узловых точек.
Широкое распространение получила сплайновая интерполяция, в которой используются отрезки полиномов третьей степени - кубические сплайны. Требуется, чтобы кубические сплайны проходили через смежные три ближайшие узловые точки и, кроме того, на граничных точках должны совпадать не только значения сплайнов и функции, но и значения их первых и даже вторых производных. Это означает высокую плавность линий интерполяции (аппроксимации). Такую плавность обеспечивает гибкая линейка, как бы закрепленная в узловых точках. Разумеется, сплайны могут быть не только кубическими. Обычная линейная интерполяция является в сущности сплайновой при сплайнах первого порядка. Достаточно практична аппроксимация сплайнами второго порядка, но основной все же является кубическая сплайн-аппроксимация с возможностью экстраполяции.