3.4.2. Концептуальная формулировка задачи

На основе содержательной модели разрабатывается концептуальная формулировка задачи моделирования.

Пример 3.2. Концептуальная постановка задачи «Бросок камня». Движение камня может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.

Гипотезы, принятые для модели:

• Камень будем считать материальной точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс камня.

• Движение происходит в поле силы тяжести с постоянным ускорением свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона.

• Движение камня происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли.

• Сопротивлением воздуха на первых порах пренебрегаем.

В качестве параметров движения будем использовать координаты (x,y) и скорость v(v_x, v_y) центра масс камня.

Концептуальная постановка задачи на основе принятых гипотез может быть следующей:

Определить закон движения материальной точки массой m под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки x₀ и y₀, ее начальная скорость v₀ и угол броска α₀.

Таким образом, модель является простой – объект материальная точка не имеет внутренней структуры. Учитывая типичные скорости и высоту броска камня, можно считать постоянным ускорение свободного падения. Переход от трехмерных координат к плоскости значительно упрощает решение задачи. Он вполне допустим, если камень не подкручивается при броске. Пренебрежение сопротивлением воздуха, как будет показано далее, приводит к значительной систематической ошибке результатов моделирования.

3.4.3. Построение математической модели

Теперь перейдем к составлению математической модели объекта – совокупности математических соотношений, описывающих его поведение и свойства. Из законов и определяющих выражений предметной дисциплины формируются уравнения модели.

Пример 3.3. Математическая постановка задачи «Бросок камня». По оси x на камень не действуют никакие силы, по оси y – действует сила тяжести. Согласно законам Ньютона имеем уравнения движения по оси х и оси y:

, , , , (3.1.)

при следующих начальных условиях , , , . Найти зависимости x(t), y(t), v_x(t), v_y(t).

Математическая постановка соответствует решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Известно, что решение задачи Коши существует и единственно. Количество искомых переменных равно количеству дифференциальных уравнений. Таким образом, математическая модель корректна. Решение этой задачи есть в любом учебнике физики.

3.4.4. Выбор метода решения

Пример 3.4. Выбор метода решения задачи «Бросок камня». Задача может быть решена как аналитически, так и численно. Рассмотрим оба варианта.

Аналитическое решение

Из (3.1) запишем систему ОДУ первого порядка:

, , , . (3.2)

После интегрирования получим:

, , , . (3.3)

Определив константы интегрирования из начальных условий, окончательно запишем:

.

Из аналитического решения вытекает, что полет камня при отсутствии сопротивления воздуха происходит строго по параболической траектории, причем она на участках полета камня вверх и вниз симметрична.

Численное решение конечно-разностным методом

Численное решение может быть найдено только для конкретных значений параметров модели, например m=200 г, α₀=45° v₀=20 м/c, g=9.8 м/c², x₀=0, y₀=1 м. Существует большое количество численных методов решения систем ОДУ. Для данной задачи можно использовать простейший явный метод Эйлера, который является разновидностью конечно-разностных методов.

Пусть дифференциальное уравнение приведено к виду , а вид функции известен. Заменим приближенно дифференциалы приращениями, тогда и . Аналогично, для системы ОДУ данной задачи получим расчетные формулы:

Очевидно, что вычисления надо вести до момента времени t_k, когда y(t_k) станет равным 0, камень упадет на землю. Подобное решение, ввиду его приближенного характера, целесообразно только в том случае, если используемая СКМ не имеет средств для достаточно точного решения систем дифференциальных уравнений или когда просто нужна демонстрация простых методов решения задачи.

В более сложных случаях выбор численного метода решения является ответственным этапом, необходимо учитывать жесткость системы ОДУ, скорость работы, сходимость и точность метода.