Глава 1. Основы компьютерной математики

В этой главе описана компьютерная математика, возникшая на стыке классической математики и информатики, и ее средства для решения математических задач с помощью компьютеров.

1.1. Математика и ее средства

1.1.1. Аксиоматический метод и структуры математики

В отличие от большинства гуманитарных наук математика является наукой точной [1-4]. Это значит, что если определенная совокупность знаний корректно подтверждена математически, то ошибки при ее использовании практически исключены. При этом возможно расширение и применение этих знаний для многих других наук, использующих аппарат математики.

Для обоснования точности своих положений математика использует аксиоматический метод. При нем в основу построения научной теории в математике кладутся некоторые исходные первичные понятия, на основании которых строятся математически и логически обоснованные предположения - аксиомы. Все остальные положения теории - теоремы получаются как следствия аксиом и применяются после их доказательства.

Впервые аксиоматический метод был развит, по-видимому, еще в работах Евклида, которые появились задолго до нашей эры и известны как геометрия Евклида. В ней были сформулированы многие исходные геометрические понятия, такие, как точка, прямая, окружность, условия параллельности прямых и др.

Но лишь начиная с XIX века аксиоматический метод получил дальнейшее серьезное развитие. В частности Н. И. Лобачевским (1792-1856) и Я. Больяй (1802-1860) были развиты основы неевклидовой геометрии, а вскоре возникла и теория доказательств. Позже были введены понятия непротиворечивости, полноты и независимости той или иной системы аксиом. Был также предложен метод интерпретации результатов, который позволяет устанавливать факт относительной непротиворечивости того или иного суждения или вывода. К примеру, геометрия Лобачевского непротиворечива относительно геометрии Евклида, а теория относительности Эйнштейна непротиворечива относительно классической механики Ньютона.

Применительно к арифметике большую роль сыграли первичные понятия множества вообще и множества натуральных чисел. Последние можно определить как целые неотрицательные числа n. В их состав сейчас включается и 0. Каждое следующее число обозначается как n’. Из изучаемых в школе аксиом натуральных чисел вытекает корректность таких понятий, как функции натуральных чисел и арифметические операции с ними. Однако лишь недавно (в 1929 г.) П. П. Кальмаром была строго доказана корректность операций их сложения и вычитания и было показано, что для двух натуральных чисел справедливы различные соотношения, например, о том, что m + 0 = m и m + n’= (m + n)’. Была строго доказана и корректность других арифметических операций.

Вершиной аксиоматического метода стали работы Д. Гильберта (1862-1943) и его математической школы. Им было введено понятие формальной системы, которое позволило на основе точных математических объектов строить общую теорию, именуемую также метатеорией. Каждая формальная система строится на основе четко очерченных формальных выражений - формул. Они могут строиться из произвольной системы знаков (математических символов).

В результате этих работ появилось искушение построить любую математическую теорию на основании понятия о выводимых формулах или теоремах. Однако К. Гедель (1906-1978) показал, что это далеко не так. Оказалось, что при любом конечном множестве исходных аксиом и при конечном множестве пополняющих их аксиом даже в арифметике остаются проблемы неполноты формализованной системы и ее принципиальной непополнимости.

В настоящее время очевидно, что далеко не все математические задачи могут быть решены аналитически и точно. Это обусловило бурный прогресс в разработке приближенных численных методов решения математических задач, для которых идеально подходят компьютеры. Широкое распространение получили статистические вычисления, активно развиваются направления нечеткой логики и нейронных сетей. Более того, становится очевидным, что далеко не все алгоритмы решения математических задач можно свести к формальным выражениям. По-видимому, гораздо более широкий класс задач может сводиться к описанию и решению их программными средствами.

Математика обычно оперирует с различными структурами - геометрическими, алгебраическими, логическими и т.д. До начала ХХ века алгебра базировалась на довольно ограниченном числе алгебраических структур. Но затем их число стало стремительно расти. В наше время под алгеброй принято называть науку о свойствах множеств, на которых определена та или иная система операций и отношений. А. И. Мальцев ввел понятие алгебраической системы и одним из первых показал, что алгебра и математическая логика – две тесно связанные между собой дисциплины.

Для алгебры характерно абстрактное представление многих понятий, отвлеченное от их конкретного применения. Например, мы можем складывать числа людей в двух комнатах, деревьев в двух рощах или молекул в многокомпонентной химической системе. То общее, что мы имеем в свойствах носителей, операций и отношений в рамках самих алгебраических систем, принято называть изоморфизмом.

Из структур алгебры, которые широко используются на практике, можно отметить:

• множества и подмножества;

• числа со сложением и умножением;

• векторы на плоскости;

• графические объекты - графы;

• логические соотношения (алгебра Буля);

• группы и полугруппы и т.д.

Таким образом, можно заключить, что алгебра в наши дни изучает не только отдельные алгебраические системы, но и целые классы алгебраических систем, удовлетворяющие некоторой системе аксиом. Часто в рамках широких классов алгебраических систем выделяются более узкие классы, получающиеся добавлением новых и новых аксиом. Что и есть основа аксиоматического метода.

К сожалению, в рамках курса «Математика и информатика» для гуманитарных специальностей мы вынуждены ограничиться лишь некоторыми понятиями аксиоматического метода и ознакомительным описанием отдельных структур математики. Из них для нас наиболее важными являются понятия об элементарных геометрических объектах и основные понятия математического анализа. По большей части очевидные или хорошо известные доказательства математических теорем опускаются - на них, в рамках данного курса, просто нет времени.