1.1.2. Компьютерная математика как часть математики

На протяжении многих веков математика делилась на фундаментальную и прикладную. Основы фундаментальной математики достаточно полно изучаются в средней школе и развиваются в курсах математики для математических и физических специальностей [3,4]. Здесь учащиеся детально знакомятся с основными первичными понятиями, аксиомами и теоремами математики, а также с основами доказательства теорем.

Но для подавляющего большинства людей более важным является прикладной аспект математики. В его основе лежит предположение о том, что в рамках принятых математических понятий аксиомы корректны, а все выводы и положения математики верны. Это позволяет широко пользоваться ими на практике и отражает общепринятую в цивилизованном мире технологию разделения труда - математики формулируют первичные понятия, аксиомы и теоремы, а другие специалисты применяют их в меру необходимости.

К примеру, в наше время нет нужды пользоваться таблицей умножения или в совершенстве знать понятие логарифма для того, что-бы найти произведение ряда чисел. С помощью даже простейшего калькулятора выполнять любые арифметические действия намного проще и надежнее, чем в уме или даже на бумаге. Для вычисления самых «заумных» специальных математических функций достаточно воспользоваться научным микрокалькулятором или подходящей программой для вычисления таких функций.

К сожалению, такой подход имеет свои серьезные минусы. Число первичных понятий, аксиом, теорем и всевозможных следствий из них ныне уже столь велико, что есть большой риск ошибиться в применении тех или иных из них в конкретных областях науки и техники. Становится очевидной необходимость автоматизации вычислений, как простых, так и самых сложных. И не только численных, но и символьных (алгебраических).

Вот почему постепенно все большую и большую роль в выполнении математических вычислений, начиная от самых простых и кончая самыми сложными, стали играть ЭВМ и позже ПК. Стало зарождаться новое понятие и направление на стыке математики и новых информационных технологий - компьютерная математика [5, 24].

Термин «компьютерная математика» является обобщением ряда ранее введенных терминов, таких, как символьная математика [30], компьютерная алгебра [6, 33], вычислительная математика [31], конкретная математика [32], математическое моделирование [11, 12, 27] и компьютерное моделирование [22, 31]. Если внимательно вникнуть в суть всех этих терминов, то можно однозначно сказать, что речь везде идет об автоматизации решения математических задач (включая моделирование) на компьютерах, т. е. о компьютерной математике. При этом последняя использует множество новых специфических алгоритмов и методов решения таких задач, которые были порождены именно возможностью применения современных компьютеров [31-33]. Ныне средства компьютерной математики внедрены даже в научные графические микрокалькуляторы с встроенными средствами аналитических вычислений, например TI-98/82/82 Plus корпорации Texas Instruments и др.

Важно отметить, что компьютерная математика является частью прикладной и классической математики. Она в значительной мере основана на аксиоматическом методе. Наиболее серьезные результаты в компьютерной математике получены при решении таких задач, которые допускают их точную формализацию [32]. Поначалу это были только арифметические вычисления и реализация численных методов вычислений [31]. Однако постепенно компьютерная математика стала активно вторгаться в область символьных или аналитических вычислений [5, 6, 30, 33]. Это резко повысило ее привлекательность как для «истинных математиков», проводящих годы за выводами новых формул и теорем, так и для большинства обычных пользователей, их применяющих на практике.

Нынешний этап развития компьютерной математики характерен поддержкой и продвижением новых направлений в математике, таких, как методы решения некорректных задач, нечеткая логика, нейронные сети, вейвлеты (новый базис приближения любых зависимостей) и так далее. Широкое распространение получили системы математического моделирования природных и общественных явлений, систем и устройств. Постепенно в сферу систем компьютерной математики проникают средства реализации виртуальной реальности, искусственного разума и искусственного интеллекта.

Применение систем компьютерной математики нередко становится именно той «палочкой-выручалочкой», которая столь необходима всем, кто не имеет возможности и времени регулярно практиковаться в математических расчетах, но кто хоть иногда нуждается в их эффективном применении. Однако всегда надо помнить, что это применение должно быть грамотным, что предполагает достаточно глубокие знания основ математики. Именно им посвящена значительная часть данного пособия.

Современные СКМ это, прежде всего, мощные электронные справочники и базы данных по всем современным направлениям математики, эффективные средства решения подавляющего большинства математических задач и средства подготовки высококачественных электронных уроков, статей и книг.