1.4.2. Массивы

Массивы – это имеющие уникальные имена наборы числовых, строковых или комбинированных значений. Здесь важно отметить, что понятие набор отличается от понятия множества тем, что наборы могут содержать идентичные элементы. Например, могут быть наборы из одного числа 0 или 1. Вообще говоря, массивы могут быть числовыми, строковыми или символьными и т. д.

Например, числовой массив может представлять только данные о числе выпущенных (например, по месяцам) автомобилей каким-то заводом. В этом случае говорят об одномерном массиве. А данные о числе книг в нескольких библиотеках (имеющих полки, шкафы с книгами и разные комнаты) можно представить, используя многомерные массивы - число их размерностей равно или больше двух. Массивы часто задают в парных квадратных скобках - в одинарных или многих для многоразмерных массивов.

Массивы можно характеризовать размерностью и размером. Так, вектор имеет размерность 1, матрица - размерность 2, куб с пронумерованными «кирпичами» - размерность 3 и так далее. Число элементов по каждой размерности характеризует ее размер, а произведение размеров по каждой размерности характеризует общий размер (число элементов) массива. Так, размер матрицы mn определяется произведением числа элементов в строке m на число элементов в столбце n.

1.4.3. Векторы и матрицы

Самые распространенные одномерные и двухмерные массивы называются векторами и матрицами. Массивы могут содержать как числовые, так и символьные данные. Например, в системе Mathcad:

2

4 - вектор - столбец с числовыми данными;

8

(a b+c d) - вектор - строка с символьными данными;

sin(1) 1 "string" 

 1 a + b 1  - матрица с элементами различного типа.

 0 1 cos(1) 

Как видно из этих примеров, в общем случае элементами массивов могут быть числовые (и строковые) константы, переменные и математические выражения. В Mathcad предусмотрен удобный способ задания массивов с помощью их шаблонов, имеющихся в палитре математических спецзнаков. Для перехода от вектора строки к вектору столбцу (и наоборот), а также для транспонирования векторов и матриц надо использовать оператор M^T в палитре матричных операций. Оператор M^<i> используется для выделения i-го столбца.

Во всех математических системах массив задается именем - идентификатором, как и любая переменная. Однако массив имеет ряд элементов с определенным порядком расположения. Порядковый номер элемента задается его индексом для вектора или двумя индексами для матрицы. Обычно существуют специальные системные переменные, задающие начальное значение индексов. Например, в системе Mathcad это переменная переменной ORIGIN, которая может принимать значение 0 (по умолчанию) или 1. Если, к примеру, записать ORIGIN := 1, то индексация будет начинаться с единицы.

Таким образом, элементы массива являются индексированными переменными. Это значит, что помимо имени такие переменные имеют подстрочный индекс. Наиболее естественно он вводится в системах класса Mathcad, в которых i-ый элемент вектора V задается как V_i. В этих системах индексы указываются как подстрочные, что принято и в обычной математической литературе.

Элементы матриц также являются индексированными переменными, имена которых совпадают с именами матриц, например:

a 1 0

M:= 1 a+b 1

0 1 b

Но в этом случае для каждой индексированной переменной указывают два индекса - один для номера строки, другой для номера столбца. Например, для указанной матрицы M средний элемент обозначается как M_1,1, а последний как M_2,2.

В системах Mathcad индекс вводится вводом знака [. При этом вводится не сам знак, а шаблон ввода индекса. В этих системах опасно путать индексированные переменные - элементы векторов и матриц со скалярными переменными с индексом в имени переменной. Подобные индексы вводятся вводом знака точки, причем синий уголок маркера ввода при этом охватывает все имя.

Матрицу можно представить как таблицу, имеющую m строк (rows) и n столбцов (columns). Если m = n, то матрицу именуют квадратной. Число элементов или размер матрицы есть m ´ n. Вектор с длиной m рассматривается как одномерная матрица размера m ´ 1. Для операций с матрицами, включая их ввод, служит палитра матричных операций Matrix (Матрицы). В ней, в частности, имеется шаблон для ввода матриц — он имеет вид удлиненных скругленных скобок с местами для ввода элементов матриц. При вводе шаблона появляется небольшое окно, запрашивающее число строк и столбцов матрицы. Рис. 1.5 иллюстрирует процедуру ввода матрицы и использование простейших векторных и матричных операций.

Р ис. 1.5. Примеры простейших числовых операций с матрицами

Матрицы одного размера с числовыми элементами можно складывать и вычитать, транспонировать (менять столбцы со строками), обращать, вычислять их детерминант и собственные числа и так далее. Другие важные матричные операции, например обращение матрицы и решение матричных уравнений, мы рассмотрим позже.