4.4. Моделирование рассеивания альфа-частиц()

Но вернемся к системам, поведение которых все же предсказуемо и описывается решением систем дифференциальных уравнений, описывающих состояния системы. Они так и именуются уравнениями состояния. И рассмотрим пример, фундаментальное значение которого трудно переоценить. Речь идет о рассеивании альфа-частиц тонкой золотой фольгой.

Сейчас мы уже точно знаем, что материя состоит из атомов, имеющих положительно заряженное «массивное» ядро, вокруг которого по орбитам движутся отрицательно заряженные электроны. Однако когда гипотеза об атомном строении вещества была только высказана, не хватало одного важного момента - экспериментального доказательства существования атомов с их ядрами. В результате сложнейших (по тем временам) экспериментов это удалось показать.

Ученые разумно предположили, что если бомбардировать тонкую пластину вещества положительно заряженными альфа-частицами, то они должны отклоняться от прямолинейного пути, отталкиваясь от ядра атомов при прохождении мимо ядер на близком расстоянии. Более того, расчеты показывали, что некоторые частицы могли даже отскакивать от ядра и менять направление полета, двигаясь в сторону источника альфа-частиц.

С помощью современных СКМ мы можем промоделировать эту ситуацию. Это поясняет начало документа системы Mathcad, представленное на рис. 4.19. Здесь сформулирована задача моделирования альфа-частицами тонкой золотой фольги и аналитически получены формулы для составляющих силы Лоренца F (силы отталкивания альфа-частицы от ядра атома).

Рис. 4.19. Первая часть документа, моделирующего рассеивание

альфа-частиц

На второй части документа (рис. 4.20) представлена подготовка дифференциальных уравнений, описывающих траекторию движения альфа-частиц, и их решение с помощью функции Bulstoer. Решение для нескольких вариантов «запуска» альфа-частиц с разными расстояниями от центра ядра хранится в матрице Z.

На третьей части документа (рис. 4.21) построены графики траекторий альфа-частиц. Моделирование блестяще подтверждает предсказанное поведение частиц - часть их испытывает отклонение от прямой их полета, которая была бы в случае отсутствия ядра. А некоторые частицы даже испытывают изменение направления движения на прямо противоположное. Датчики частиц, установленные в разных местах физической установки, и впрямь фиксировали такие изменения траектории, что и явилось подтверждением атомной теории строения веществ и материалов.

Р ис. 4.20. Вторая часть документа, моделирующего рассеивание

альфа-частиц

Разумеется, и описанная модель является не абсолютно точной. Например, значительные погрешности могут возникнуть, если напрвить частицу точно в ядро. Если скорость частицы велика, частица может преодолеть силу отталкивания ядром, и тогда частица будет поглощена им. Новые обстоятельства такого поглощения (вплоть до р адиоактивного распада вещества) описанная модель просто уже не учитывает.

Рис. 4.21. Третья часть документа, моделирующего рассеивание

альфа-частиц

4.5. Моделирование биологических и экономических систем

4.5.1. Модель системы «хищник-жертва» Лотки-Вольтерра

Теперь рассмотрим типичную земную задачу о совместном проживании хищников и их жертв. Поскольку жертвы поедаются хищниками, число жертв начинает сокращаться, а число хищников - расти. Однако так не может продолжаться долго. Через некоторое время хищникам начинает не хватать пищи, и их популяция перестает расти и даже уменьшается. В итоге жертвы начинают размножаться более интенсивно и их число растет. Далее эти процессы повторяются, и в них обнаруживается периодичность.

Одной из первых моделей (1925-1927 г.г.) такой системы «хищник-жертва» стала модель Лотки и Вольтерра (рис.4.22). Пусть y₀ и y₁ — число жертв и хищников. Предположим, что относительный прирост жертв y₀'/y₀ равен a-by₁, где a>0 — скорость размножения жертв в отсутствие хищников, -by₁ (b>0) — потери от хищников. Развитие популяции хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи (y₀=0) относительная скорость изменения популяции хищников равна y₁'/y₁=c, где c>0. Наличие пищи компенсирует убывание хищников, и при y₀>0 имеем y₁'/y1=(-c+dy₀), где d>0.

Р ис. 4.22. Моделирование системы «хищник-жертва»

Лотки-Вольтерра в трех вариантах

Рассмотренная модель достаточно универсальна. Она может описывать не только изменение популяций хищников и жертв, но и поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и пр. Рекомендуется поэкспериментировать с этой моделью и убедиться, что моделируемые процессы могут иметь не только колебательный, но и апериодический характер.