4.8. Обработка и моделирование сигналов и изображений

4.8.1. Основы спектрального метода моделирования сигналов

Методы обработки и моделирования сигналов ныне широко применяются не только в технических, но и в гуманитарных сферах науки и техники. Достаточно отметить анализ сигналов в медицине, обработку сигналов сейсмографических исследований, анализ и распознавание звуковых и видеосигналов и изображений. Поэтому знать основы спектрального метода моделирования сигналов и систем необходимо и представителям гуманитарных направлений работы.

В Главе 2 были рассмотрены основные положения спектрального подхода к представлению функций и сигналов, основанные на применении рядов Фурье. Были также описаны возможности системы Mathcad в реализации этих методов. В общем случае спектральный метод моделирования линейных систем реализуется следующей диаграммой:

s_input(t)DFT  IFT s_output(t)

Входной сигнал подвергается прямому преобразованию Фурье DFT (Direct Fourier Transorm) и раскладывается на множество гармоник, комплексные амплитуды которых задаются функцией . Данный процесс означает декомпозицию сигналов, т.е. их разложение на отдельные гармонические составляющие. Он соответствует переходу от временного представления сигнала к его частотному представлению.

Частотные составляющие сигнала подаются на вход анализируемой линейной системы, которая характеризуется комплексным коэффициентом передачи . Реакция системы характеризуется выражением . Эти функции часто раскладываются на действительную и мнимую составляющие, что позволяет задавать их амплитудно-частотными и фазо-частотными характеристиками - АЧХ и ФЧХ.

Поскольку моделируется линейная система, то вычисление означает вычисление реакции линейной системы на каждую частотную составляющую входного сигнала. При этом АЧХ сигнала (его спектр) и системы перемножаются, а фазовые сдвиги складываются. Полученный отклик системы (композиция его составляющих) в частотной форме подвергается обратному преобразованию Фурье IFT (Inverse Fourier Transform). В результате вычисляется временная зависимость сигнала на выходе системы s_output(t).

Возможны самые разнообразные методы реализации описанной выше методики спектрального моделирования. Так, если =1, то можно говорить только о спектральном моделировании, анализе и синтезе сигналов, что нередко представляет самостоятельный интерес, например, для получения спектров произвольных сигналов и изучения их возможностей. По-разному могут осуществляться преобразования Фурье - по точным формулам, по приближенным формулам метода прямоугольников, по уточненным формулам, с помощью быстрого преобразования Фурье FFT (Fast Fourier Transform) и т. д.

4.8.2. Спектральное моделирование на основе точных формул интегрирования()

Для получения коэффициентов Фурье удобно пользоваться встроенными операторами интегрирования системы Mathcad (рис. 4.34).

Р ис. 4.34. Программный блок вычисления коэффициентов Фурье

На рис. 4.35 дан пример задания сложного импульса f(t) с линейным спадом вершины и наложенным на нее синусоидальным сигналов. Импульс раскладывается на N=50 гармоник. Далее показан синтез сигнала p(t) из его гармоник. Нетрудно заметить, что такое число гармоник довольно хорошо моделирует сигнал, хотя характерные волнообразные процессы (эффект Гиббса) все же заметны. Максимальная амплитуда выбросов достигает 18% от максимальной величины перепада.

В заключение показана формула синтеза, в которой имеется множитель, учитывающий спад коэффициента передачи некоторого устройства с ростом нормированной частоты n/L. Такой вид спада характерен для АЧХ однокаскадного усилителя (сдвигом фазы пренебрегаем). Нетрудно заметить характерные искажения исходного импульса - заметное нарастание времен спада и среза импульса, а также подавление осцилляций на его вершине.

Рис. 4.35. Моделирование искажений импульсного сигнала