2.1.2. Вычисление произведений

Произведение членов ряда реализуется выражением:

.

Все сказанное о правилах применения операций суммирования относится и к операторам вычисления произведения. Для них используются соответствующие шаблоны.

Пример 2.4. Вычислить произведение натуральных чисел от 1 до  и их квадратов в аналитической форме:

Р езультат получен через специальную гамма-функцию.

Пример 2.5. Вычислить произведение натуральных чисел от 1 до 10 и их квадратов в численном виде:

О братите внимание на два варианта задания пределов изменения i - в виде ранжированной переменной и в шаблоне произведения.

2.1.3. Вычисление пределов

Пределом функции f(x) называют то ее значение b, к которому функция неограниченно приближается в точке x=a (предел в точке) или слева или справа от нее. Предел обозначается как:

Предел Предел слева Предел справа

в точке a от точки a от точки a

lim f(x) = b lim f(x) = b lim f(x) = b

xa xa- xa+

При этом подразумевается, что функция f(x) определена на некотором промежутке, включающем точку x=a, и во всех точках, близких к ней слева и справа. В последнем случае предел вычисляется для x = a - h или x = a + h при h, стремящемся к нулю. Пределом может быть число, математическое выражение, положительная или отрицательная бесконечность. В системе Mathcad вычисление предела возможно только при символьном выводе. Для этого используется соответствующий шаблон предела.

Пример 2.6. Вычислить предел выражения sin(x)/x в точке x=0, имеющей в этой точке устранимую неопределенность вида 0/01:

Пример 2.7. Постройте график выражения sin(x)/x при x=-10..10 и объясните наблюдаемую при x=0 особенность.

Функция g(x) = 1/(x - 2) интересна тем, что она не имеет предела в особой точке x = 2, но имеет бесконечные пределы разного знака по обе стороны от точки x = 2.

Пример 2.8. Постройте график функции g(x) = 1/(x - 2) и подберите удобные масштабы для ясного представления вида этой функции.

П

.

ример 2.9. Вычислите пределы выражения 1/(x - 2) в точке x = 2, слева и справа от нее:

Обратите внимание на то, что в первом случае Mathcad выдал сообщение undefined (не определен), которое и указывает на отсутствие предела. В других примерах пределом является бесконечность («положительная» и «отрицательная»). Можно также говорить о пределе ряда функций при x или при x-. Например функция e^-x имеет предел 0 при x. Проверьте это сами.

2.3. Вычисление производных и интегралов

2.3.1. Определение производной и полного дифференциала

Производная непрерывной функции f(x) – это предел, к которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента x:

при x0.

Если речь идет о вычислении численного значения производной, то оно производится в некоторой точке x=x0. Как известно, значение производной геометрически характеризуется наклоном касательной к графику f(x) в точке x=0. Производную можно рассматривать и как скорость изменения функции в заданной точке. В экстремумах функций производная равна нулю.

Помимо производной, некоторые математические системы оперируют понятием дифференциала

df(x)=f'(x)x,

то есть произведения производной функции на приращение ее аргумента x  0.

Если функция имеет производную в точке x, то она в этой точке непрерывна. Разрывные функции в точках разрыва не имеют производных, хотя у них возможны производные слева и справа от точек разрыва. Непрерывность функции не является достаточным признаком того, что она имеет производную. Не все непрерывные функции имеют производные во всех точках. В принципе возможны даже непрерывные функции, вообще не имеющие производных. Примером могут быть самоподобные кривые - фракталы, вид которых сохраняется при уменьшении или увеличении размеров [17].

Производная от первой производной f'(x), то есть функция f'' (x), называется производной второго порядка. Могут быть и производные высшего порядка.

Довольно часто встречаются функции ряда переменных, например f(x,y,z,...). В этом случае может идти речь о частных производных по переменным x, y, z,.... Например, частной производной по переменной x будет выражение:

 f(x,y,z,...) f(x+x, y, z,...) - f(x, y, z,...)

f '_x(x,y,z,...)= - = lim  .

x x0 x

Подобные выражения нетрудно составить и для частных производных по другим переменным. Можно считать, что при вычислении частной производной по какой-то переменной остальные переменные рассматриваются как константы. Можно также говорить о частных дифференциалах. Полный дифференциал функции ряда переменных:

 f  f  f

df =  dx +  dy +  dz +....

 x  y  z

Перейдем к практике вычисления производных.