4.5.2. Модель системы «хищник-жертва» с логистической поправкой

Колебания популяций хищников и жертв на самом деле наблюдаются не всегда. Нередко мы наблюдаем стабильное количество тех и других, хотя процесс съедения жертв хищниками идет постоянно. Такой случай требует введения некоторой логистической поправки, которая учитывается в несколько иной модели системы «хищник-жертва», представленной на рис. 4.23.

Р ис. 4.23. Моделирование системы «хищник-жертва» Лотки-Вольтерра с логистической поправкой

Дополнительный параметр  в этой модели позволяет управлять затуханием осцилляций (колебаний) модели. Как нетрудно заметить, при указанных параметрах модели колебательный процесс в ней явно затухает и устанавливается длительное равновесие между числом хищников и жертв. Фазовый портрет приобретает устойчивый фокус. Форма фазового портрета свидетельствует о довольно малой нелинейности этой системы. Поэтому колебания напоминают затухающую синусоиду. Однако при a<0 образуется неустойчивый фокус и колебания начинают нарастать.

4.5.3. Модель системы «хищник-жертва» Холлинга-Тэннера

Еще одна нелинейная модель системы «хищник-жертва» была предложена Холлингом и Тэннером (рис. 4.24). Эта модель имеет две важные особенности. Ее нелинейность довольно сильна, что видно из вида фазового портрета, витки которого заметно отличны от эллипсов.

Р ис. 4.24. Моделирование системы «хищник-жертва»

Холлинга- Тэннера

Главное свойство этой модели заключается в том, что в конечном счете колебания задаются предельным циклом фазового портрета, который может быть устойчивым. Он и определяет амплитуду колебаний, которые устанавливаются в стационарном режиме работы системы. При этом колебания могут как затухать во времени (пример чего и приведен), так и возрастать, приближаясь при этом к стационарным колебаниям.

4.5.4. Моделирование замкнутой экономической системы

В поведении биологических и экономических систем есть много общего. Поэтому при обсуждении моделей экономических систем ограничимся описанием модели замкнутой практически линейной экономической системы, которая описывается дифференциальным уравнением второго порядка (рис. 4.25).

Эта модель характеризуется двумя параметрами - круговой частотой осцилляций  и параметром затухания k. Поведение системы существенно зависит как от этих параметров, так и от начальных условий. Так, оно может иметь как апериодический, так и колебательный характер. В сущности в этой модели для нас уже нет ничего нового - это еще одна модель системы второго порядка.

Р ис. 4.25. Моделирование замкнутой экономической системы

4.6. Моделирование на основе линейного программирования

4.6.1.Оптимальные экономико-математические модели

Современная экономика широко использует математические методы и самые разнообразные математические модели [25, 26]. В отличие от естественных наук возможности экспериментальных исследований в общественных дисциплинах ограничены. Экономический эксперимент в масштабах страны может привести к кризису и социальным потрясениям, а в рамках отдельной фирмы – к убыткам или краху. Поэтому моделирование экономических процессов, предварительный анализ возможных последствий тех или иных управленческих решений особенно важны. Рассмотрим примеры некоторых типичных задач экономического моделирования, наиболее часто встречаемые на практике.

Большую группу в моделировании экономических процессов составляют задачи, относящиеся к методам принятия оптимальных решений, исследованию операций. В повседневной практике хозяйствования требуется выбрать производственную программу, поставщиков, распределение ресурсов, маршрут транспортировки. Требование оптимальности в планировании и управлении приводит к задачам оптимального (математического) программирования – разделу прикладной математики, занимающемуся условной оптимизацией.

Необходимо найти такое управленческое решение , которое в некоторой области допустимых решений D обеспечивало бы наилучшее значение некоторого критерия оптимальности – экономического показателя. Такими экономическими показателями чаще всего являются «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и т.д. Задача условной оптимизации в общем виде может быть записана так: найти максимум или минимум функции

(4.1)

при ограничениях

, где (4.2)

, . (4.3)

Условия (4.3) может и не быть, но чаще всего переменные в экономическом моделировании должны быть неотрицательными. Выбор оптимального управленческого решения в конкретной производственной ситуации требует решения задачи оптимального программирования. Если функция и ограничения (4.1) - (4.3) линейные, то проблема сводится к задаче линейного программирования. К математическим задачам линейного программирования приводят различные производственные и хозяйственные ситуации, которые требуют оптимального использования ограниченных ресурсов (задачи о планировании выпуска продукции, о смесях, транспортная задача и т.д.)

В общем случае задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом: найти максимум или минимум целевой функции

(4.4)

при ограничениях

, , , , (4.5)

Для решения задач линейного программирования разработано большое количество различных методов. При анализе моделей с двумя или тремя переменными часто используются графические построения на плоскости или в пространстве. Среди универсальных методов решения наиболее распространен симплексный метод. Симплекс – это многоугольник, перемещаемый в пространстве решения таким образом, чтобы, сужаясь, он мог охватить точку искомого решения, приближаясь к ней с заданной погрешностью.

При этом методе задается некоторое начальное приближение, удовлетворяющее всем ограничениям задачи, но не обязательно оптимальное. Оптимальность результата достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число шагов (итераций). Направление перехода от одной итерации к другой выбирается на основе критерия оптимальности целевой функции задачи.

Реализовывать симплекс-метод вручную громоздко и сложно. Системы компьютерной математики имеют средства решения задач оптимизации, в том числе и симплекс-методом. Рассмотрим примеры решения нескольких типичных задач линейного программирования с помощью таких средств.