- •6.Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •30.Угол между 2-мя прямыми.
- •18.Скалярные и векторные величины.
- •3. Проекция вектора на ось
- •8.Уравнение прямой в пространстве
- •4. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение вектора по данному базису.
- •1. Матрица. Операции над матрицами.
- •2.Операции над матрицами:
- •2. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.
- •9.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
- •14. Производная ф-ции. Смысл.
- •16. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.
- •19.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла
- •21,22.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •23.Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •25.Определённый интеграл. Его свойства.
- •Теорема
- •Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
- •27.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной
- •28.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •59.Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •60. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
- •62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка:
- •64. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
- •38.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
- •40,42..Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда
- •43. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •35. Линейная комбинация рядов
- •36. Сравнение,даламбера,интегральный признак, лейбница.
- •40. Доказательство расходимости Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :
- •44. Разложение основных элементарных функций.
- •47. Функции нескольких переменных
- •7°. Важное геометрическое свойство. Равен площади области d (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости
- •65. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
- •15. Производная суммы (разности) функций
- •63. Теорема (о структуре общего решения лнду):
43. Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть функция у = f (х) определена в некоторой окрестности точки х и имеет в ней производные до порядка n +1 включительно. Тогда для всякого х из этой окрестности справедливо равенство
f(x)= f(x0 )+
Где с – некоторая точка из интервала (х, х )
Формулой Тейлора для функции f(x) в окрестности точки х называется многочлен
Рn (х) = f(х0 ) +
Остаточным членом формулы Тейлора называется последнее слагаемое в формуле Тейлора
Rn (x)= = f(x) – Pn (x)
Таким образом, многочлен Тейлора Рn (х ) служит приближением функции f(х). Оценкой этого приближения служит остаточный член формулы Тейлора Rn (х ).
Формулой Маклорена для функции f(х) называется ее формула Тейлора при х0 = 0:
f(x)= f(0) +
где с – некоторая точка из интервала (0, х).
11. Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке. Говорят, что функция действительного переменного f (x) является непрерывной в точке ( - множество действительных чисел), если для любой последовательности , такой, что
выполняется соотношение
На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :
Функция f (x) определена в точке x = a;
Предел существует;
Выполняется равенство .
32.
Необходимый признак сходимости ряда |
Теорема. Если ряд сходится, то un=0. Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1) .Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = un=0, что и требовалось доказать. Следствие. Если un≠0, то ряд u1+u2+…+un… расходится. Пример. Ряд расходится, так как un= . Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что un=0 не следует, что ряд сходится. Позже докажем, что так называемый гармонический ряд (6) расходится, хотя un= |
33. При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.
Если для числового ряда
существует такое число число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство
то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера
то ряд расходится.
35. Линейная комбинация рядов
Если ряды и сходятся, то сходится и ряд (α, β — постоянные), при этом
36. Сравнение,даламбера,интегральный признак, лейбница.
37. Эталонные ряды, т.е. разложения элементарных функций, можно использовать для получения рядов тех же функций, но сложного аргумента.
39. В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда[1]:
.
Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны.