21,22.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.

Если функция х= φ (t) имеет непрерывную производную, то в неопределённом интеграле ∫ ƒ(х) dx всегда можно перейти к новой переменной t по формуле

∫ƒ(х) dx=∫ ƒ(φ(t)) φ’(t) dt=∫ ƒ(φ(t)) d(φ(t)).Отметим, что при замене х=φ(t) должно осуществляться взаимнооднозначное соответствие между областями D и D определения функций φ(t) и ƒ(х) такое, чтобы функция φ(t) принимала все значения х из области D , то есть х є D. Метод интегрирования по частям основан на формуле ∫ U dV=UV-∫ V dU, где U(х), V(х)- непрерывно диф. Функции.

23.Универсальная тригонометрическая подстановка.

1.Метод подведения под знак диф. Заключается в том, что некоторые сомножетели подинтегральной функции подводятся под знак диф, после чего используется подходящий табличный интеграл.2.Интегралы вида ∫ sin mx cos nx dx; ∫sin mx sin nx dx;

∫ cos mx cos nx dx применяются следующие формулы: sin mx cos nx= ½ (sibn (m+n)x+sin(m-n)x); sin mx sin nx= ½(cos(m-n)x-cos(m+n)x); cos mx cos nx=1/2(cos(m-n)x+cos(m+n)x).3.Интегралы вида:∫ cos^mx sinⁿx dx интегрируются следующим образом:Если оба числа m и n– чётные, то пользуемся формулой понижения степени cos²x=(1+cosx)/2; sin²x=(1-cos2x)/2; sinx cosx=sin2x/2

25.Определённый интеграл. Его свойства.

Если на , то геометрически опр. интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком , осью ОХ и двумя прямыми и , называемый криволинейной трапецией.

Свойства определённого интеграла:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. , то

6. 

7. 

8. , , то

9. ф-я непрерывна на отрезке , ,то на этом отрезке сущ. хотя бы одна точка , такая, что

10. −я непрерывна и ,то имеет место равенство Ф-я наз. определённым интегралом с переменным верхним пределом.

11. Ньютона-Лейбница: если - какая-либо первообразная от , то

26. Теорема о существовании первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона– Лейбница.

Существовании первообразной для непрерывной функции.

Введем сначала понятие определенного интеграла с переменным верхним пределом.

Рассмотрим функцию у = ƒ(х), интегрируемую на отрезке [a, b]. Если х [a, b], то функция ƒ(х) интегрируема также на любом отрезке [a, x]. Предположим, что х меняется на отрезке [a, b], тогда на этом отрезке определена функция

Докажем, что функция непрерывна на отрезке [a, b]. Аргумент х придадим приращение такое, что [a, b], тогда по свойству 1 определенного интеграла получим

Применяя теорему о среднем, находим

где m – наименьшее, М – наибольшее значение функции ƒ(х) на отрезке (х, х + + Δх]; эти значения существуют, так как функция интегрируема, следовательно, и ограничена.

Из двух последних равенств следует, ΔФ = μΔх, откуда ΔФ→0 при Δх→0, т.е. Ф(х) – неравная функция, о чем свидетельствует следующая теорема.