- •6.Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •30.Угол между 2-мя прямыми.
- •18.Скалярные и векторные величины.
- •3. Проекция вектора на ось
- •8.Уравнение прямой в пространстве
- •4. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение вектора по данному базису.
- •1. Матрица. Операции над матрицами.
- •2.Операции над матрицами:
- •2. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.
- •9.Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности.
- •14. Производная ф-ции. Смысл.
- •16. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.
- •19.Первообразная функции. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла
- •21,22.Замена переменной (подстановка) в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •23.Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •25.Определённый интеграл. Его свойства.
- •Теорема
- •Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
- •27.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной
- •28.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.
- •59.Дифференциальные уравнения (основные понятия)
- •60. Дифференциальные ур-я 1-го порядка с разделяющимися переменными:
- •62. Линейные дифф-е ур-я 1-го порядка:
- •64. Линейные дифференциальные ур-я 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
- •38.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
- •40,42..Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда
- •43. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •35. Линейная комбинация рядов
- •36. Сравнение,даламбера,интегральный признак, лейбница.
- •40. Доказательство расходимости Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :
- •44. Разложение основных элементарных функций.
- •47. Функции нескольких переменных
- •7°. Важное геометрическое свойство. Равен площади области d (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости
- •65. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
- •15. Производная суммы (разности) функций
- •63. Теорема (о структуре общего решения лнду):
38.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любых два члена с номерами n и n+1 (n=1, 2, 3,……) имеют противоположные знаки, т.е. ряд вида
Где аn›0 (n=1, 2, 3,…)
Теорема (признак Лейбница)
Знакочередующий ряд сходится, если модули его членов убывают с возрастанием n и общий член стремится к нулю, т. е.
аn+1‹аn (n=1, 2, 3,…)
2
и
=0 3
Доказательство
Рассмотрим частичные суммы ряда с четными и нечетными номерами:
S2m=a1-a2+a3-…+a2m-1-a2m,
S2m+1= a1-a2+a3-...a2m-1-a2m+a2m+1
Преобразуем первую из этих сумм:
S2m= (a1-a2) + (a3-a4) +…+ (a2m-1-a2m),
S2m= a1 – (a2-a3) – (a4-a5) -...- (a2m-2-a2m-1) –a2m.
В силу условия разность в каждой скобке положительна, поэтому S2m›S2m-2 и S2m‹a1 для всех m. Итак, последовательность четных частичных сумм {S2m} является монотонно возрастающей и ограниченной. Она имеет предел, который обозначим через S, т. е. . Поскольку S2ь+1=S2m+a2m+1, то, принимая во внимание предыдущее равенство и условие, получаем
Итак, последовательности частичных сумм данного ряда соответственно с четными и нечетными номерами имеют один и тот же предел S.Отсюда следует, что последовательность всех частичных сумм ряда имеет предел S; , т. е.ряд сходится.
Пример
Исследовать сходится ли ряд
+…. 4
Этот ряд явл. Знакочередующимся. Он сходится, поскольку удовлетворяет условиям теоремы
<
Оценка остатка знакочередующегося ряда определяется с помощью следующей теоремы.
Теорема
Сумма остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак первого оставшегося члена и не превосходит его по модулю.
Доказательство
Рассмотрим остаток ряда (1) после 2m членов. Пусть – его сумма,
r2m=a2m+1-a2m+2+a2m+3-a2m+4+a2m+5-….,
2n= (a2m+1-a2m+2)+(a2m+3-a2m+4)+…..+(a2m+2n-1 -a2m+2n),
2n= a2m+1-(a2m+2-a2m+3)-…..-a2m+2n ,
Так как выполнены условия теоремы Лейбница, то 2n>0 и
2n<a2m+1 при всех n, т.е. 0< 2n<a2m+1 (n=1,2,3,….)
Откуда
Или r2m 2m+1
Аналогично доказывается, что сумма
R2m-1 остатка ряда после 2m-1 членов (r2m-1=-a2m+a2m+1-a2m+2+a2m+3-….) удовлетворяет условиям
0<-r2m-1<a2m,т.е. r2m-1<0 [r2m-1]
Следовательно, независимо от четности или нечетности n
[rn] an+1
40,42..Понятие степенного ряда .Область сходимости степенного ряда
Ряд вида а0 + а1 х + а2 х2 + … аn хn + … = (1) называется степенным рядом,
а – некоторые числа, х – переменная .
Коэффициентами степенного ряда называются числа а0 , а1 , … , аn
Пример:1+х+х2 + …+ хn + … = - степенной ряд, все его коэффициенты равны 1.
Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений переменной х , при которых соответствующий числовой ряд сходится. Степенной ряд в предыдущем примере является бесконечной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем х . Его частичная сумма S = . Эта сумма имеет конечный предел при │х│< 1. Поэтому областью сходимости исходного ряда является интервал (-1; 1).
41.Теорема Абеля а)Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении х=х0≠0, то он сходится
Абсолютно при всех значениях х , таких что │х│< │х0│
б)Если степенной ряд (1) расходится при х = х1 , то он расходится при всех значениях х , таких что │х│> │х1│.