1. Матрица. Операции над матрицами.

П рямоугольная таблица составленная из mxn элементов a_ij, где i= =1,2,3,…,m, j= некоторого множества называется матрицей и записывается в виде:

A=

Элементы матрицы нумеруются 2-мя индексами:

1. i – означает номер строки

2. j – номер столбца

на пересечении которых стоит элемент.

Если у матрицы m строк и n столбцов, и говорят, что её размерность mxn. (А_mxn)

Матрицы наз. равными, если они имеют одинаковую размерность и все их соответствующие элементы равны.

А_mxn= В_mxn, если a_ij=b_ij

Если в матрице число строк равно числу столбцов (т = п), то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Если m=1 получается матрица-строка (вектор-строка). Если n=1 – матрица-столбец (вектор-столбец).

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. (А_1х1)

Квадратная матрица, у кот. все элементы, кроме элементов a_ij, равны нулю наз. диагональной (элементы a_ij могут быть равны, где i=1,n, при этом элементы a_ij составляют главную диагональ кв. матрицы, а вторая диагональ наз. побочной).

Диагональная матр., у кот. все элементы на главной диагонали равны 1, наз. единичной матрицей (Е).

Матрица, у кот. все элементы равны 0, наз. нулевой (О).

2.Операции над матрицами:

1) Сложение матриц. Матрицы одинакового размера можно склады­вать.

Суммой двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Так, если

то их суммой является матрица

2) Произведение матрицы на число. Произведением матрицы А на число А, называется матрица В, элементы которой равны произведению числа λ на соответствующие элементы матрицы А. (b_ij= λ • a_ij). Отсюда следует, что при умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица.

3) Произведение матриц А_mxn и В_nxp назыв. матрица С размерности С_mxp, каждый элемент которой c_ij = a_i1 • b_ij + a_i2 • b_2j + a_i3 • b_3j + a_in •b_nj.

Если АВ=ВА, то матрицы А и В наз. перестановочными или коммутирующими.

Обратная матрица и её вычисления.

Если определитель матрицы А, равен нулю, то матрица А называется вырожденной, в противном случае матрица А называется невырожденной.

Если А — квадратная невырожденная матрица, то обратной для нее матрицей назы­вается матрица, обозначаемая А^-1 и удовлетворяющая условиям:

А•А^-1= А^-1•А = Е, где Е— единичная матрица.

Для невырожденной матрицы А всегда сущ. Единственная обратная матрица А^-1 , кот. определяется формулой:

А^-1 = × A*,

2. Система линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Решение системы методом Гаусса. Понятие базисного решения.

Метод Гаусса: Процедура решает неоднородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+ . . .+a_1n x_n=a_1n+1

a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+ . . .+a_2n x_n=a_2n+1

. . . .

a_n1 x₁+a_n2 x₂+ . . .+a_nn x_n=a_nn+1

Вначале находим отличный от нуля коэффициент при x₁. Соответствующее уравнение переставляем с первым (если это необходимо). Получаем систему с a₁₁ отличным от нуля. Разделив коэффициенты этого уравнения на a₁₁, получим:

x₁+b₁₂ x₂+ . . .+b_1n x_n=b_1n+1

При помощи этого уравнения исключаем x₁ из исходной системы:

a⁽¹⁾₂₂ x₂+a⁽¹⁾₂₃ x₃+ . . .+a⁽¹⁾_2n x_n=a⁽¹⁾_2n+1

. . . .

a⁽¹⁾_n2 x₂+a⁽¹⁾_n3 x₃+ . . .+a⁽¹⁾_nn x_n=a⁽¹⁾_nn+1

где

a⁽¹⁾_{i j}=a_{i j}-a_{i 1}b_{1 j}, i,j= 2...n

Полученная система содержит n-1 уравнение. Применяем описанную выше процедуру к этой системе. Операции повторяем требуемое число раз, пока не приведем систему к треугольному виду:

x₁+с₁₂ x₂+ . . .+с_1n x_n=с_1n+1

x₂+ . . .+c_2n x_n=c_2n+1

. . . .

x_n=c_nn+1

Теперь легко определить x_n,x_n-1, . . ., x₁.

Если det(A)=0, то исходная система не имеет решений и процедура выдает S=0 иначе S=1 и решения находятся в массиве X.