Практичне заняття № 30

Тема: Розв’язування вправ на визначення збіжності рядів

Мета: сформувати вміння та навики застосування різник ознак (Д’Аламбера, порівняння, Коші, Лейбніца) для визначення збіжності рядів.

Хід заняття

1. Ознака Д’Аламбера.

Якщо для ряду з додатними членами u₁+ u₂+ … + u_n +… існує границя

, то:

1) ряд збіжний при l < 1

2) ряд збіжний при l > 1

Якщо l = 1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Треба дослідити ряд за допомогою інших ознак.

2. Гранична ознака порівняння.

Якщо задано два ряди з додатними членами

причому існує скінченна, відмінна від нуля границя відношення загальних членів двох рядів

, то ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Для порівняння часто користуються рядами:

1)

2)

- стале число

ряд Діріхле або узагальнений гармонічний ряд

3) - розбіжний гармонічний ряд

3. Радикальна ознака Коші.

Якщо для ряду з додатними членами

існує границя , то цей ряд збіжний при < 1 і розбіжний при > 1.

Якщо = 1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

4. Інтегральна ознака Коші.

Нехай задано ряд

, члени якого є значеннями неперервної, додатної і монотонно спадної функції f (x) на проміжку [1; + ).

Тоді даний ряд збіжний, якщо збіжний невласний інтеграл , і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний.

І Розв’язування прав.

1) Дослідити ряди на збіжність:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2) Абсолютно чи умовно збігається ряд:

а)

б)

Iі Завдання додому

Дослідити ряди на збіжність:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

Відповіді:

1. збіжний 4) збігається умовно

2. збіжний 5) розбіжний

3. збіжний 6) збігається умовно.

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 31

Тема: Розв’язування вправ на степеневі ряди

Мета: сформувати вміння та навики розв’язування вправ на степеневі ряди

ХІД ЗАНЯТТЯ

Нехай дано степеневий ряд . Для знаходження інтервала збіжності застосовують ознаку Д’Аламбера.

, , .

0, 1, 2, ... – ряд Тейлора.

Якщо в ряді Тейлора приймемо , то одержимо ряд Маклорена:

І Розв’язування вправ

1) Знайти інтервал збіжності степеневих рядів:

а)

б)

в)

г)

2) Застосування степеневих рядів

а) Дану функцію розкласти в ряд:

б) Обчислити наближене значення за допомогою степеневого ряду:

в) Розкласти функцію в ряд Маклорена:

IІ Завдання додому

1) Знайти інтервал збіжності степеневих рядів:

1) 3)

2) 4)

Відповіді:

1. х=0 3) -1 х 1

2. х=0 4)

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 32

Тема: Розв’язування вправ на ряди Фур’є

Мета: сформувати вміння та навики розкладання функцій у ряд Фур’є.

ХІД ЗАНЯТТЯ

Функція , що задовольняє умови Діріхле на відрізку , на інтервалі , може бути визначена тригонометричним рядом Фурє:

(1)

де коефіцієнти Фурє та обчислюються за такими формулами:

І Актуалізація опорних знань (фронтальне опитування)

1. Тригонометричний ряд Фурє, коефіцієнти Фурє.

2. Комплексна форма ряду Фурє

3. Інтеграли Фурє.

ІІ Розв’язування прав.

1. Приклад. Розкласти функцію у ряд Фурє на проміжку (0;2 ).

Ця функція на відрізку [0;2 ] задовольняє умови Діріхле, а тому ряд Фурє на

інтервалі (0;2 ) для неї існує. Обчислимо коефіцієнти Фурє, узявши в (1):

Отже,

2. Розкласти у ряд Фур’є на відповідних інтервалах функції:

Відповідь.

Відповідь.

Відповідь.

ІІІ Підведення підсумків заняття

IV Завдання додому

Розкласти в ряди Фурє функції:

1) 3)

2) 4)

Відповіді:

1) 3) , х z

2) 4)

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 33

Тема: Розв’язування вправ на арифметичну та геометричну прогресії

Мета: сформувати вміння та навики розв’язування вправ на арифметичну прогресію та прості відсотки, геометричну прогресію та складні відсотки, застосування прогресій до економічних розрахунків

ХІД ЗАНЯТТЯ

Арифметична прогресія

, ,

де - -ий член прогресії, - різниця прогресії.

Геометрична прогресія:

,

де - знаменник прогресії.

Сума n-членів прогресії:

.

Сума членів спадної нескінченої прогресії .

І Актуалізація опорних знань (фронтальне опитування)

1) Арифметична прогресія та прості відсотки

2) Властивості арифметичної прогресії

3) Поняття простих відсотків та капітал

4) Геометрична прогресія та складні відсотки

5) Властивості геометричної прогресії

6) Поняття складних відсотків та капітал

ІІ Розв’язування вправ

1. а) Знайти суму 27 членів арифметичної прогресії, якщо а₁₁ + а₁₇₌8;

b) Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну про­гресію, дорівнює 30. Якщо від першого числа відняти 5, від другого 4, а третє не змінювати, то ці числа утворять геомет­ричну прогресію. Які це числа?

2. а) Між числами 4 та 39 знайти чотири числа, які разом з даними утворюють арифметичну прогресію. У відповідь записати 4-й член.

b) Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну про­гресію, дорівнює 30.- Якщо від другого члена цієї прогресії відняти 2, а решту членів не змінювати, то утвориться геомет­рична прогресія. Знайти ці числа.

3. а) Знайти різницю зростаючої арифметичної прогресії, у якої сума перших трьох членів дорівнює 27, а сума їх квадратів дорівнює 275.

b) Три числа утворюють арифметичну прогресію. Якщо до першого додати 8, то утвориться геометрична прогресія з сумою членів 25. Знайти ці числа.

4. а) Знайти добуток перших чотирьох членів геометричної прогресії, якщоb4 – b2 = 24, а b2- b3=6;

b) Якщо до чотирьох чисел, які утворюють арифметичну прогресію, додати відповідно 2, 1, 4, 15, то нові числа утворять геометричну прогресію. Знайти ці числа.

5. а) В арифметичній прогресії 11 членів. Перший, п'ятий та одинадцятий її члени утворюють геометричну прогресію. Знайти третій член арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 24.

b) Між числами 2 та 65 є ще 20 чисел, які разом з дани­ми утворюють арифметичну прогресію. Знайти найбільше із невідомих чисел.