92

ВСТУП

Успішне вирішення завдань, які становить ринкова економіка, тісно пов’язане з використанням математичних методів, моделей та алгоритмів, а також сучасних комп’ютерних технологій. Загальний напрямок розвитку сучасної економічної науки потребує впровадження точних математичних методів для управління економічними процесами в усіх сферах господарської діяльності та бізнесу. Разом із сучасними комп’ютерними технологіями математичні методи все активніше використовуються в банківській і фінансовій сферах, у сферах маркетингу, бухгалтерській і страховій справах. Володіння математичними методами набуває особливого значення у зв’язку з необхідністю формування у випускників вищих навчальних закладів вмінь та навичок, які б допомагали їм вирішувати складні економічні проблеми.

Завдання до практичних занять розроблені відповідно до програм, рекомендованих Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України, охоплюють повний курс дисципліни «Вища математика» за модулями освітньо-професійних програм підготовки бакалаврів за напрямом підготовки «Економіка та підприємництво».

Практичні заняття передбачають набуття навичок, необхідних для розв’язання теоретичних і практичних завдань економіки і застосуванням математичного апарату досліджень; побудови економіко-математичних моделей; подальшого вивчення студентами дисциплін циклу природно-наукової підготовки, таких як теорія ймовірностей та математична статистика, економетрика, статистика, економічна статистика, а також дисциплін циклу професійної та практичної підготовки, таких як бухгалтерський облік, фінанси підприємств, економічний аналіз, контроль і ревізія, банківські операції та ін.

Практичне заняття № 1

Тема: Обчислення визначників за допомогою їх властивостей

Мета: сформувати вміння та навики обчислення визначників різними

методами, в т.ч. з використанням їх властивостей

Хід заняття

Визначником - порядку називається число, яке знаходиться з елементів ) квадратної таблиці з n рядками та n стовпцями за певним правилом. Загальним методом знаходження визначника є метод Лапласа:

; ,

де - алгебраїчне доповнення елемента цього визначника, яке дорівнює добутку (-1) у степені суми номерів рядка та стовпця , на перетині яких стоїть цей елемент, на мінор цього елемента: .

Мінором елемента визначника -порядку, називається визначник порядку, який знаходиться викресленням рядка та стовпця, на перетині яких стоїть цей елемент.

Визначник позначається прямими дужками:

Приклад (розкриваємо по першому рядку)

Метод Лапласа знаходження визначників дозволяє легко доводити їх властивості.

Основні властивості:

• Визначник дорівнює нулю, якщо будь-який рядок (стовпець)складається з одних нулів.

• Добуток дійсного числа на визначник дорівнює визначнику, у якого кожний член одного з рядків (стовпців) помножається на це число.

Наслідок: Спільний множник будь-якого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

• Якщо поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці) визначника, то він змінить свій знак на протилежний.

• Визначник, який має два однакових рядка (стовпця), дорівнює нулю.

• Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то він дорівнює нулю.

• Визначник, у якого кожний елемент рядка(стовпця) складається з двох доданків, дорівнює сумі двох визначників, у першому з яких рядок (стовпець)складається з перших доданків елементів означеного рядка (стовпця), а у другому – з других. Інші елементи цих визначників однакові і співпадають з елементами початкового визначника.

• Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця) помножені на дійсне число.

І. Розв’язування вправ

1) Обчислити визначники:

а)

б)

в)

2) Обчислити визначник за правилом трикутників:

3) Обчислити визначник за правилом Саріуса:

4) Обчислити визначник, розклавши його за елементами 3-го рядка:

=

5) Спростити і обчислити визначники:

а)

б)

6) Розв’язати рівняння:

7) Обчислити визначник 4-го порядку:

=

Іі Завдання додому

1) Обчислити визначник, розклавши його за елементами І стовпця:

2) Використовуючи властивості, обчислити визначник:

3) Розв’язати рівняння:

4) Обчислити визначник 4-го порядку:

Відповіді:

1. -10

2. amn

3. -2; 0

4. -28

Практичне заняття № 2

Тема: Дії з матрицями

Мета: сформувати вміння та навики виконання дій з матрицями

Хід заняття

Матрицею розміром називають прямокутну таблицю елементів ; , яка має рядків та стовпців ( ; ; .

Матриця позначається круглими дужками.

Дії з матрицями

Матриці можна складати та віднімати тільки одного розміру:

Елементи складаються з відповідних елементів матриць та .

Матриці можна перемножити тільки, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці: .

Елементи матриці знаходяться за формулою:

; .

Добуток дійсного числа на матрицю дорівнює матриці, у якій кожний член помножається на це число. Спільний множник всіх членів можна виносити за знак матриці.

Властивості матриць

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4.

Матрицю називають транспортованою щодо матриці , якщо в неї рядки і стовпці міняються місцями: = .

Приєднаною до матрицею називають матрицю, яка складається з алгебраїчних доповнень транспонованої до матриці. Її позначають як .

Матрицю називають оберненою щодо квадратної матриці , якщо вона задовольняє властивості , де - одинична матриця, у якої діагональні елементи дорівнюють одиниці, а інші – нулю. Обернену матрицю (для невироджених матриць знаходимо за формулою: