Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ермаков А. А. Основы надежности информационных систем учебное пособие.pdf
Скачиваний:
357
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
1.19 Mб
Скачать

p(nф n) и mn , можно найти величину количества устройств выбороч-

ной совокупности

Nв = mn . mλ t

Пример 5.1. Необходимо провести испытание на надежность новых генераторов посто- янного тока. Согласно условиям, испытание производится в течение 100 часов. Пред- полагается, что в течение этого времени произошло более трех отказов с досто- верностью p(nф ³ n)=0,95.Ориентировочное значение математического ожидания ин- тенсивности отказов выбираем из справочных таблиц для аналогичных генераторов по-

стоянного тока λ =3 10 −4 . Математическое ожидание количества отказов находим по

графику рис. 23 nm = 6 . Размер выборки генераторов для испытания определяем по

формуле

 

Nв =

6

−4

=200 шт.

 

100×3×10

 

 

 

 

ln nm

 

 

 

 

5

10

 

 

 

2

 

6

 

 

1

 

 

 

 

5

 

 

0,5

 

4

 

 

 

3

 

 

0,2

 

2

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

 

 

0,0001 0,005 0,05 0,1 0,2 0,3 0,9 0,95 0,999 ln p(nф ³n)

Рис.23. Вспомогательный график для определения размера выборки

при испытании на надежность

8.3. Ускоренные испытания на надежность

Ускоренные испытания ТУ на надежность проводятся в рабочем ре-

жиме с повышенными нагрузками и представляют собой разновидность метода физического моделирования.

126

Для экспоненциального закона вероятность безотказной работы равна

t

p(t) = e T .

Если безразмерные коэффициенты модели и реального процесса рав- ны, то в этом случае метод физического моделирования для опыта приме- ним. В данном случае

tу = t =τ ,

Tу T

где tу и Tу временные характеристики надежности при ускоренных

испытаниях. Отсюда

t = T tу , Tу

где T = k коэффициент подобия.

Tу

Аналогично можно написать

p(t) = p(tу ).

Коэффициент подобия выражает собой величину соответствия време- ни работы ТУ в условиях нормальной эксплуатации одному часу ускорен- ных испытаний.

Для любых элементов ТУ вероятность безотказной работы является функцией комплексной нагрузки Z и времени работы t :

p =ψ (Z,t).

Комплексная нагрузка включает в себя различные частные нагрузки, влияющие на величину интенсивности отказов, например, для информационных систем:

Z = ϕ (U,Q,t0,V ,K),

127

где U качество электропитания информационной системы;

Q и t0 влажность и температура окружающей среды соответственно;

V объем перерабатываемой информации и другие нагрузки.

Комплексная нагрузка может быть выражена в виде безразмерного коэффициента ξ . Тогда выражение для вероятности безотказной работы

можно записать в виде

p1(ξ,t)

ианалогично для ускоренных испытаний:

pу 1у ,tу ) ,

где ξ = ξ у , t = tу , p = pу .

Эти равенства и служат критерием соответствия параметров при ус- коренных испытаниях и в реальных условиях эксплуатации.

Чем больше коэффициент подобия, тем больше сокращается срок проведения испытаний, однако надо учитывать, что при достаточно боль-

ших значениях коэффициента подобия может быть нарушено соответствие между вероятностями p и pу .

Для экспоненциального закона распределения оценка среднего време-

ни безотказной работы при ускоренных испытаниях равно

Tу = Nt1у ,

где t1у время появления первого отказа при ускоренных испытаниях;

N количество однотипных ТУ или элементов, поставленных на ус- коренные испытания. Очевидно, что чем больше число N , тем достовер-

нее станет величина Tу .

128

Из выражения коэффициента подобия k и среднего времени безот-

казной работы при ускоренных испытаниях Tу определяется среднее вре-

мя безотказной работы для реальных условий:

T = kTу = kNt1у .

Если определить некоторое заданное время работы испытуемого ТУ как tз и минимальное допустимое время безотказной работы Tmin для это-

го случая, то время ускоренных испытаний может быть определено из со-

отношения

tу = tkз = TNmink .

Количество ТУ, необходимое для проведения ускоренных испытаний на надежность с учетом желаемой точности эксперимента, может быть оценено на основании следующего выражения:

N = lg[1− Q(tу )] , lg p(ty )

так как статистическая вероятность отказа, полученная при ускоренных испытаниях N ТУ, определяется по формуле

Q *(tу ) =1−[ p *(tу )]N ,

где p *(tу ) статистическая вероятность безотказной работы одного испытываемого ТУ.

8.4. Метод статистического моделирования надежности

Метод статистического моделирования надежности основан на так на- зываемом методе Монте-Карло. Суть метода Монте-Карло состоит в ис-

пользовании данных предыдущего опыта для оценки возможных ситуаций в будущем. Принципиальная особенность метода состоит в том, что влия- ние различных случайных факторов в процессе опыта учитывается не рас-

129

четным, а игровым способом. В качестве универсального механизма слу- чайного выбора используется совокупность случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0 – 1), которые вырабатываются датчиком случайных чисел. Случайные числа используются для получения дискрет- ного ряда случайных переменных, имитирующих результаты, которые можно было бы ожидать в соответствии с вероятностным распределением, полученным на основании предыдущего опыта.

Метод Монте-Карло можно проиллюстрировать на довольно простом примере. Пусть под наблюдением находится некоторое количество про- стых ТУ. Каждые 100 часов число отказов этих устройств соответствует распределению, приведенному в таблице 4.

 

 

Таблица 4

 

 

 

Число отказов

Вероятность

Кумулятивная вероятность

 

 

 

26

0,105

0,105

34

0,175

0,28

31

0,15

0,43

29

0,145

0,575

24

0,125

0,7

28

0,14

0,84

33

0,16

1,00

 

 

 

По этой таблице строим график распределения кумулятивной вероят- ности (график закона распределения) случайной величины число отказов ТУ (рис. 24).

Пусть в дальнейшем необходимо получить предполагаемое число от- казов для шести аналогичных периодов времени. Для этого запускается

ранее описанный датчик случайных чисел и фиксируются шесть первых полученных значений. Пусть это будут значения: 0,1; 0,22; 0,37; 0,17; 0,56; 0,87. Полученные случайные числа можно рассматривать как вероятности.

130

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

26

34

31

29

24

28

33

Рис. 24. Распределение кумулятивных вероятностей

Они сравниваются с законом распределения вероятностей числа отка- зов, изображенным на рисунке, а результаты заносятся в таблицу.

 

 

Таблица 5

 

 

 

Период времени

Случайное число (вероятность)

Предполагаемое число

 

 

отказов

1

0,1

Менее 26

2

0,22

26

3

0,37

34

4

0,17

26

5

0,56

31

6

0,87

28

 

 

 

Для увеличения достоверности эксперимента рекомендуется взять еще несколько таких выборок. Так как используемые случайные числа распределены равномерно, то каждое из значений исследуемой величины (в примере число отказов) будет в процессе эксперимента появляться с такой же относительной частотой, что и при реальных условиях эксплуа- тации или при натурном эксперименте подобного рода. При этом иссле- дуемая величина приобретает случайный характер. Следовательно, при применении такого метода получаются результаты, типичные для факти- ческого поведения исследуемой системы (в нашем случае закон распре-

131

деления числа отказов, полученных на основании ранее проведенных на- блюдений).

Если мы располагаем совокупностью распределенных случайных ве-

личин yi (i = 1, 2, K, n) в интервале (0 – 1), то каждой из них соответст-

вует определенное для данного вида функции F(x) = y число x i , значе-

ние которого находится обратным преобразованием (то есть то значение аргумента x , для которого F(x) = yi ).

Отсюда следует, что процесс получения последовательности случай-

ных чисел x i с заданным законом распределения F(x) сводится к реше-

нию относительно x i уравнения

F(x) = ò f (x) dx = y .

−∞

Например, если требуется реализовать случайную величину t , рас- пределенную по экспоненциальному закону с известным значением λ :

F (x) = 1− e−λ t ,

то на основании ранее приведенных соображений получим

1− e−λ t = q .

Тогда, очевидно,

t i = − λ1 ln(1− qi ),

где qi последовательность случайных чисел, распределенных в интерва-

ле (0 – 1), вырабатываемых датчиком случайных чисел.

Результаты моделирования представляют собой статистические сред- ние значения величин, фиксируемые в качестве искомых параметров:

132

m* 1 N x ,

x = N iå=1 i

где xi численное значение искомого параметра в i -ой реализации;

Nчисло реализаций алгоритма.

Всоответствии с известными предельными теоремами теории вероят- ностей среднее значение стремится к действительному ожиданию случай- ной величины при неограниченном возрастании числа испытаний.

На практике число испытаний ограничено. В силу этого значение ис- комого параметра в известной степени будет случайным, то есть вместо точного будет получено его приближенное значение, или оценка, имеющее лишь ограниченную точность. Абсолютная величина максимального от- клонения определяется следующим образом:

ε= tασ m ,

где tα = 2Ф−1(α) представляет собой количество величин среднеквад-

ратических отклонений σ m для нормального закона распределения, кото-

рую нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания, чтобы вероят-

ность попадания на полученный интервал была равна α . Значения tα та-

булированы, Ф−1(α ) функция, обратная функции Лапласа. Это означает,

что каждому значению аргумента α соответствует определенная величина функции Лапласа, равная tα .

Применение современных ЭВМ позволяет осуществить исследование самых разнообразных систем и при этом имитировать реальные условия эксплуатации. В этом случае большое значение имеет разработка стан- дартных программ и алгоритмов для решения типовых задач надежности. Основой для разработки программ может быть методика, приведенная ни- же.

133

Основной характеристикой, необходимой для проведения расчетов,

является вероятность пребывания системы в определенном состоянии

Pi (t) для заданного интервала времени τ , при котором она способна нор-

мально функционировать. В сложных ТУ таких состояний может быть большое количество. Для определения конкретных состояний на учет бе- рутся все элементы устройства, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний: исправном или неисправном.

В результате предварительного анализа процесса функционирования устанавливается число рассматриваемых состояний, при которых ТУ спо- собно функционировать, при этом маловероятные ситуации обычно ис- ключаются.

Методика решение задачи оценки надежности методом статистиче- ского моделирования системы сводится к следующему: заданный интервал времени τ разбивается на равные промежутки

t = τk

и для каждого t определяется состояние каждого элемента системы в со-

ответствии с принятыми законами распределения времени безотказной ра- боты. Эта информация используется для определения рабочих состояний ТУ, соответствующих некоторому рассматриваемому промежутку времени t . Все состояния системы нумеруются в порядке убывания показателей надежности. Затем фиксируется состояние с наименьшим номером, то есть

выбирается состояние системы с наилучшей по надежности комбинацией исправных элементов.

Аналогично этот процесс повторяется для следующего промежутка времени и так далее. Многократное повторение этого процесса для каждо- го t позволяет получить оценку для вероятности исправного j -го со-

стояния p j (t) в момент времени t , принадлежащему τ .

134

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.