Метрическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) (где обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек x, y, z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1. d(x, y) ≥ 0

2. d(x, x) = 0

3. если   d(x, y) = 0 ,то x = y.

4. d(x, y) = d(y, x)    (симметрия)

5. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)    (неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть положительно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x. Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.

Примеры

• Дискретная метрика: d(x,y) = 0, если x=y, и d(x,y) = 1 во всех остальных случаях.

• Вещественные числа с функцией расстояния d(x, y) = |y — x| и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

• Пространство Минковского, т. е. координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d(x, y) = ||y — x||.

• Любое связное риманово многообразие M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

• Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.

• Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

D(X, Y) = inf{r : для всех x в X существует y в Y с d(x, y) < r и для любого y в Y существует x в X такое, что d(x, y) < r)}.

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.

Связанные определения

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу этого пространства.

Метрика d на M называется внутренней, если для любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x, y).

Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, которую можно определить так:

1. Определим открытый шар как множество

B(x; r) = {y в M : d(x,y) < r},

где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара.

2. Подмножество M, которое представляется как объединение (конечного или бесконечного) числа открытых шаров, называется открытым.

Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех x, y и z в M, d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)).

Расстояние d(x,S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:

d(x,S) = inf{d(x,s) : s ∈ S}

Тогда d(x, S) = 0, только если x принадлежит замыканию S.

Иногда рассматривают метрики со значениями [0,∞]. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) или d''(x, y) = min(1, d(x, y))). Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

Свойства

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.

  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.

  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

История

Морис Фреше (Maurice René Fréchet) впервые ввёл понятие метрического пространства в своей работе Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74, в связи с рассмотрением функциональных пространств.