Рішення
Нехай
залежність між Х та У описується
прямою лінією , де u - залишки (збурення
моделі). Розрахункові значення (Ур)
обчислимо, користуючись такою моделлю:
(1)
Для обчислень можна використовувати таку допоміжну таблицю. Для перевірки таблиця вже має заповнені стовпці.
Таблиця 1
№ |
У |
Х |
Х2 |
ХУ |
Х-Хср |
У-Уср |
(Х-Хср)2 |
(Х-Хср) * ( У-Уср) |
(У-Уср)2 |
Ур |
U= У-Ур |
U2 |
1 |
10 |
3 |
9 |
30 |
-3,80 |
-6,90 |
14,44 |
26,22 |
47,61 |
10,44 |
-0,44 |
0,19 |
2 |
11 |
4 |
16 |
44 |
-2,80 |
-5,90 |
7,84 |
16,52 |
34,81 |
12,14 |
-1,14 |
1,29 |
3 |
12 |
4 |
16 |
48 |
-2,80 |
-4,90 |
7,84 |
13,72 |
24,01 |
12,14 |
-0,14 |
0,02 |
4 |
15 |
5 |
25 |
75 |
-1,80 |
-1,90 |
3,24 |
3,42 |
3,61 |
13,84 |
1,16 |
1,35 |
5 |
16 |
6 |
36 |
96 |
-0,80 |
-0,90 |
0,64 |
0,72 |
0,81 |
15,54 |
0,46 |
0,21 |
6 |
18 |
7 |
49 |
126 |
0,20 |
1,10 |
0,04 |
0,22 |
1,21 |
17,24 |
0,76 |
0,58 |
7 |
20 |
9 |
81 |
180 |
2,20 |
3,10 |
4,84 |
6,82 |
9,61 |
20,64 |
-0,64 |
0,41 |
8 |
21 |
9 |
81 |
189 |
2,20 |
4,10 |
4,84 |
9,02 |
16,81 |
20,64 |
0,36 |
0,13 |
9 |
23 |
10 |
100 |
230 |
3,20 |
6,10 |
10,24 |
19,52 |
37,21 |
22,34 |
0,66 |
0,43 |
10 |
23 |
11 |
121 |
253 |
4,20 |
6,10 |
17,64 |
25,62 |
37,21 |
24,04 |
-1,04 |
1,09 |
Σ |
169 |
68 |
534 |
1271 |
0,00 |
0,00 |
71,60 |
121,80 |
212,90 |
169,00 |
0,00 |
5,70 |
Обчислимо значення оцінок параметрів моделі за допомогою відхилень середніх арифметичних , за формулою:
=1,7
та
Що дорівнює відповідно 5,33.
Обчислимо значення Ур (розрахункове) використовую формулу .
Обчислимо залишки за формулою = У-Ур та їх квадрати, та відповідні суми стовпців.
Обчислимо
не зсунену оцінку дисперсії залишків
.
Вона дорівнює 0,71 та середнє квадратичне
відхилення . використовуючи формулу
Коефіцієнт кореляції обчислимо за формулою (2), він дорівнює 0,986
(2)
Коефіцієнт еластичності для парної регресії обчислимо за формулою:
=0,68 (3)
Для перевірки гіпотези про значущості коефіцієнта кореляції застосуємо формулу:
=17,047
, де r – вже обчислений нами раніше
коефіцієнт кореляції.
Порівняємо це значення з табличним значенням t (статистичні таблиці) якій дорівнює 2,306 и зробимо висновок.
Для перевірки гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі застуємо формулу:
де
(4)
Отже маємо:
Порівняємо ці значення з табличним значенням критерію Стюдента (2,306) – зробимо висновки.
Довірчий інтервал прогнозу будується на основі загального співвідношення:
ŷ
,
(5)
де
—
гранична помилка прогнозу.
Воно є базовим і використовується для визначення довірчих інтервалів прогнозу, побудованих за допомогою будь-яких моделей лінійної регресії, знайдених за методом найменших квадратів.
Доведено, що для парної лінійної моделі
гранична помилка прогнозу з достовірністю
%
має вигляд:
.
(6)
При цьому застосовується табличне
значення t –
критерію Стьюдента з рівнем значущості
(
i k=N-1)
ступенями вільності у випадку
двосторонньої перевірки.
Отже кутовий коефіцієнт нашої моделі знаходиться в межах (1,696; 1,7934), а вільний член попадає в інтервал довіри: (4,109; 6,56).
Для розрахунку F критерію скористуємося формулою:
(7)
Порівнюючи отримане значення з табличним значенням критерію Фішера =3,4, (так як воно більше ніж розрахункове) , робимо висновок про адекватність моделі статистичним даним.
Для розрахунку прогнозного значення У підставте прогнозне значення х=15 в отриману формулу регресії ( з завдання 1) :
.
Маємо
=30,84
Тоді надійний інтервал для математичного сподівання прогнозного значення дорівнює:
значення t критерію не змінюється =2,34. Середнє квадратичне відхилення, обчислене в попередньому завданні та інші складові формули знайдіть в рядку Сум в таблиці 9.1 з відповідними стовпцями. І в розрахунках вашої роботи.