Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скопинский В.Н., Захаров А.А. Учебное пособие по сопртивлению материалов.pdf
Скачиваний:
200
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
1.33 Mб
Скачать

Приложение 1

Вывод основных зависимостей при растяжении, кручении и изгибе стержня

При рассмотрении отдельных видов деформации (нагружения) стержня в соответствующих разделах подробно рассматривалось получение основных зависимостей и их преобразования. В приводимой ниже таблице повторены эти выводы в сжатом виде.

Вид нагружения

Растяжение

 

Кручение

 

 

Изгиб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ур-я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кинематические

 

ε ==

 

dw

 

γ =

 

 

dϕ

 

ε ==

 

dθ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

y

(1)

зависимости

 

dz

 

 

dz

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Физические

 

σ

= Eε

 

ττ

= Gγ

 

 

σ = Eε

 

 

 

 

(2)

зависимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Статические

N =

σ dF

M K =

 

 

 

ρτ dF

M

 

=

 

 

yσ

 

dF

(3)

зависимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

(1)

(2)

σ ==

E

dw

 

τ =

G

dρ

ρ

 

σ

= E

dθ

 

y

(4)

dz

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

(3)

 

dw

=

N

 

 

 

dϕ

 

=

M K

 

 

dθ

 

 

=

 

 

 

 

M

 

(5)

Дифференциальные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

EJx

 

 

 

dz

G JP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнения

 

dz

 

 

EF

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

(4)

 

 

 

 

N

 

 

 

τ =

 

M K

ρρ

 

σ

 

=

 

 

M

 

y

(6)

Напряжения

 

σ

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jx

 

 

 

 

 

 

в сечении

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

JP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальные

 

σ

=

N

 

τ max

=

 

M K

 

 

σ max

=

 

M

 

 

напряжения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WP

 

Wx

(7)

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в сечении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wx=JP/τ max

 

Wx=Jx/ymax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следует обратить внимание на единообразие получения и преобразования зависимостей при различных видах нагружения, а также на полную аналогию зависимостей при кручении и изгибе.

Приложение 2

Основные расчетные формулы

Растяжение и сжатие

Смысл зависимости

 

 

 

Формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Определение внутренних

 

Fz = 0

 

 

 

 

N

 

 

 

 

N - нормальная (продольная) сила

сил по методу сечений

 

 

 

N =

Pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi - внешние силы

2

Напряжения в

 

 

 

σ

=

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

- нормальные напряжения

поперечном сечении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F - площадь поперечного сечения

 

стержня

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

Напряжения в

 

σ

α

=

σσ cos2 α

 

σ - нормальные напряжения в попереч-

наклонном сечении

 

τ

 

=

 

1

σσ

sin2α

ном сечении; α - угол между поперечным

 

стержня

 

α

 

 

 

 

 

 

и наклонным сечениями

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие прочности для

 

 

 

σ max

[σ

]

 

 

 

 

[σ ]=σ T/nT - допускаемые напряжения при

4

стержня из пластичного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

растяжении и сжатии

 

материала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Условия прочности для

 

 

σ

р,max

[σ

 

]р

 

 

 

 

 

[σ ]р=σ вр /nв , [σ ]с=σ вс/nв -

стержня из хрупкого

 

 

σ

с,max

[σ

 

]с

 

 

 

 

допускаемые напряжения при

 

материала

 

 

 

 

 

 

 

 

растяжении и сжатии

6

Линейная деформация

 

 

 

ε

=

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l - длина участка

 

на участке

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l - изменение длины участка

7

Закон Гука

 

σ

=

Eε , εε

 

=

 

 

σ

 

 

 

 

E - модуль Юнга материала

 

для материала

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

8

Закон Гука

 

 

 

l

=

 

 

N l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При постоянной деформации на

 

для участка стержня

 

 

 

 

E F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

участке ε = const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Коэффициент

 

 

 

 

=

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε / - поперечная деформация

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пуассона

 

 

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε

- продольная деформация

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Определение поперечной

 

 

ε

=

εε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- коэффициент Пуассона

 

деформации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продольные перемеще-

 

 

 

wz=wo+ε z

 

 

 

 

 

 

wo - перемещение сечения при z=0 на

11

ния поперечных сечений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

участке ε = const

12

Перемещение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wН - перемещение начального сечения

сечения в конце

 

 

 

wк=wн+l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

участка

 

участка стержня

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стержневые системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение усилий

 

Fx=0,

 

 

Fy=0,

 

 

 

 

 

 

13

из уравнений

 

mz=0,

 

 

 

 

Ni

 

 

 

Ni - нормальная сила в i-ом стержне

 

равновесия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

Определение

 

 

 

σ i = Ni / Fi

 

 

 

 

 

 

 

 

σ i - напряжения в i-ом стержнe

 

напряжений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

N

 

 

N l

 

 

 

 

- нормальная сила в i-ом стержне для

15

Определение

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

i

δ

==

 

 

 

 

 

 

 

 

i

ii

 

 

 

 

 

 

перемещений по методу

 

 

 

 

 

 

EiFi

 

 

единичного состояния; Ni - нормальная

 

 

 

 

i=

 

 

 

 

 

 

 

сила в i-ом стержне для грузового со-

 

единичной нагрузки

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стояния; m- число стержней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кручение

Смысл зависимости

 

 

Формула

 

Примечания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение внутренних

 

mz=0

 

 

 

Mк

 

Mк – крутящий момент

 

моментов по

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

в сечении

 

 

методу сечений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Касательные напряжения в

 

 

τ

=

 

M

 

K

 

 

ρ

Jр - полярный момент инерции се-

2

произвольной точке круглого

 

 

 

 

 

 

 

чения; ρ- расстояние от центра се-

 

 

 

Jp

 

 

 

сечения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чения до точки

 

 

Максимальные

 

 

τ max

=

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wp=Jp/ρmax - полярный

 

 

 

 

 

K

момент сопротивления сечения;

3

касательные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wp

ρmax – расстояние от центра до

 

напряжения в сечении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наиболее удаленных точек

4

Условие прочности

 

 

 

τ max

[τ ]

 

 

 

 

 

 

 

 

[τ ]=τ T/ nT - допускаемые

вала при кручении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напряжения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напряжения в наклонных

σ

 

α

 

=

 

τ sin2α

τ - касательные напряжения

5

 

 

 

 

чистого сдвига;

 

площадках

τ α

 

=

ττ cos2α

α

- угол между поперечным

 

при чистом сдвиге

 

 

 

 

и наклонным сечениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Закон Гука

 

 

 

 

τ

=

Gγ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ - угловая деформация

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(угол сдвига)

 

 

при чистом сдвиге

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G - модуль сдвига

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

материала

 

7

Связь модуля сдвига G

 

 

G =

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ

- коэффициент Пуассона

и модуля Юнга E

 

 

2(1+

)

 

 

 

 

 

8

Относительный угол

ϕ =

dϕ ;ϕ =

 

 

 

 

 

M K

 

ϕ - функция углов поворота

 

закручивания

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

GJp

 

сечений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение углов

 

 

ϕ z=ϕ o+ϕ

/

z

ϕ /=const - относительный угол за-

9

закручивания

 

 

 

 

 

кручивания на участке

 

на участке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Угол закручивания

ϕ

 

 

=

ϕ l =

 

 

 

M K l

 

ϕ /=const на участке

 

участка вала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G J p

 

 

l - длина участка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

Угловое перемещение

ϕ

 

 

= ϕϕ

 

+

 

 

ϕϕ

ϕ Н,– угол поворота начального се-

сечения

 

 

 

 

 

чения; ϕϕ - угол закручивания уча-

 

в конце участка вала

 

 

K

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стка

 

12

Условие жесткости вала

 

 

ϕ

 

ϕϕ

]

 

 

 

 

[ϕ] - допускаемый относительный

 

 

 

 

 

 

 

 

угол закручивания

 

 

 

 

 

 

max

 

[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Касательные напряжения

 

τ max

 

=

 

M к

 

 

WK=α ab2 - момент сопротивления

13

 

 

 

 

 

прямоугольного сечения при круче-

τ max и τ

 

 

 

 

 

 

 

 

Wк

 

нии;

стороны

 

в прямоугольном сечении

 

 

 

τ / = ηττ max

 

 

 

 

 

 

 

a, b - большая и малая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямоугольника

 

14

Угол закручивания вала пря-

 

 

ϕ

=

 

M Kl

JK=βab3 - момент инерции

 

 

 

 

прямоугольного сечения

 

 

 

 

 

 

 

моугольного сечения

 

 

 

 

 

 

 

GJ K

 

при кручении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изгиб

Смысл зависимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула

Примечания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

 

Fy=0

 

Q

Q - поперечная сила;

 

внутренних сил

 

 

1

 

mx=0

 

M

M - изгибающий момент

по методу сечений

 

 

 

 

 

dQ

 

= q ;

dM

= Q

 

 

 

Дифференциальные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

q – интенсивность распределённой

2

зависимости

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нагрузки

 

при изгибе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

M

 

=

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормальные

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jx - момент инерции сечения относитель-

 

напряжения

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

y

3

в произвольной точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но главной центральной оси x; y рас-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поперечного сечения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jx

 

 

 

 

 

 

 

стояние от оси x до точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимальные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

4

нормальные

 

 

σ

 

m ax =

Wx - момент сопротивления сечения

напряжения

 

 

W x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в сечении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие прочности для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ max - максимальные напряжения

5

балки

 

 

 

 

 

σ max

[σ

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в балке

 

из пластичного

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

материала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[σ ]=σ T /nT - допускаемые напряжения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Условия прочности для

 

 

σ

 

р,max

[σ

]р

[σ ]р=σ вр / nв , [σ ]с=σ вс / nв -

балки из хрупкого

 

 

σ

 

с,max

[σ

]с

допускаемые напряжения при

 

материала

 

 

 

растяжении и сжатии

 

Касательные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

S*x

b(y) - ширина сечения в месте

7

напряжения

 

 

τ

=

 

 

 

определения напряжений;

в произвольной точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sx*- статический момент отсечённой

 

 

 

Jx

b(y)

 

сечения балки

 

 

 

 

 

 

 

 

части сечения

 

 

Зависимость

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

v - прогиб сечения балки

8

между

 

 

 

 

 

 

θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линейным и угловым

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θ - угол поворота сечения балки

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

перемещениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Определение

κ =

 

dθ

;κκ =

M

M - изгибающий момент в сечении

кривизны оси балки в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сечении

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

EJx

EJx - жесткость балки при изгибе

10

Дифференциальное

 

 

 

 

 

d2v

=

 

M

 

 

 

 

 

 

 

M(z) - функция изгибающего

уравнение упругой ли-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

момента по длине балки

 

 

 

 

 

dz2

 

EJx

 

нии балки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл Мора

 

 

=

 

 

Ì 1Ì

 

 

 

 

 

 

 

 

δ - линейное или угловое

перемеще-

11

для определения

 

δ

 

 

 

 

dz

ние сечения балки,

 

 

 

 

EJx

 

 

перемещений

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

M(z), М1(z) - функции моментов для гру-

 

сечений балки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зового и единичного состояний

 

Способ Верещагина

 

 

=

 

 

n

 

 

 

 

ω iη i

ω - площадь «грузовой эпюры»;

12

для вычисления

 

δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

η - ордината на «единичной эпюре» под

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграла Мора

 

 

 

 

 

 

 

 

i (E Jx )i

центром площади грузовой эпюры

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.