6.3. Нормальные напряжения при изгибе

Подставляя зависимость (6.6) в формулу (6.5), получаем выраже-

ние для нормальных напряжений в произвольной точке поперечно-

го сечения:

Выражение (6.7) определяет закон изменения нормальных напряжений в плоскости сечения - линейная зависимость от координаты у

(рис. 6.6,а).

Рис. 6.6

Максимальные нормальные напряжения в сечении возникают в точках, наиболее удалённых от нейтральной линии:

где Wx - момент сопротивления сечения при изгибе:

Условно эпюра σ (y) изображается в плоскости сечения (рис. 6.6,б,в). Знаки напряжений на эпюре ставятся в зависимости от направления изгибающего момента M в сечении (на рис. 6.6,б знаки показаны для момента отрицательного направления). Если сечение несимметричное относительно нейтральной линии, то максимальные растягивающие и сжимающие нормальные напряжения будут различной величины (см. рис. 6.6,в).

Момент сопротивления Wx для сечений различной формы определяется через момент инерции Jx сечений (см. раздел “Геометрические характеристики сечений”). Например, для типовых сечений получим:

ра. Основываясь на таком подходе, можно убедиться, что лучше применять балки не сплошного круглого сечения, а кольцевого; не прямоугольного сечения, а коробчатого.

Рис. 6.7 Рис. 6.8

Для балок из материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие, выгодным является применение сечений, несимметричных относительно нейтральной линии. Причём положение нейтраль-

ния в зависимости от положения растянутых и сжатых волокон. Например, для консольной чугунной балки таврового сечения (рис. 6.8) при показанном направлении нагрузки необходимо расположить балку полкой вверх, т. к. в этом случае будет σ cmax > σ pmax, а для чугуна

σвc > σ вp.

6.5.Напряжения при поперечном изгибе

При поперечном изгибе в сечениях балки возникают не только нормальные σ , но и касательные τ напряжения. Поперечная сила Q в сечении является результирующим силовым фактором от действия вертикальной составляющей τ касательных напряжений: Q = ∫ τ dF .

F

В результате возникающей деформации сдвига γ поперечные сечения не остаются плоскими, а искривляются. Кроме того, действие поперечной нагрузки, в частности распределенной q(z), приводит к взаимодействию продольных слоёв балки. Таким образом, строго говоря,

при поперечном изгибе балки не соблюдаются гипотезы 1 и 2, приня-

тые при чистом изгибе. Однако экспериментальные результаты, а также сопоставление с более строгим решением по теории упругости показывают, что несоблюдение отмеченных гипотез при поперечном изгибе приводит к несущественной погрешности при использовании формул чистого изгиба. Поэтому и при поперечном изгибе используются соотношения (6.6) для кривизны оси изогнутой балки и соотношения (6.7), (6.8) - для нормальных напряжений:

Для определения касательных напряжений τ в произвольной точке сечения используется гипотеза 3 (τ = const по ширине сечения) и закон парности касательных напряжений. Выделим элемент балки (рис. 6.9,а) (берётся участок балки, где q = 0, т.к. учёт распределённой нагрузки q приводит к появлению членов второго порядка малости, которыми можно пренебречь) и рассмотрим верхнюю часть этого элемента, отсеченную продольной плоскостью y1 = const (рис. 6.9,б).

Рис. 6.9

На отсечённую часть в поперечных сечениях действуют нормальные напряжения (σ +dσ ), σ и касательные напряжения τ , а в продольном сечении действуют такие же напряжения τ согласно закону парности касательных напряжений (Направление напряжений соответствует положительным направлениям M и Q Напряжения приведём к результирующим силам (рис. 6.9,в):

После подстановки соотношений (6.10) в это уравнение и преобразований, а также с учетом дифференциального соотношения

окончательно получаем формулу для касательных напряжений в балках, которая носит название формулы Д.И. Журав-

ского:

сила в сечении балки; Jx - момент инерции сечения относительно нейтральной линии; b = b(y) - ширина сечения на уровне y, где определяются касательные напряжения (по ширине сечения они постоянны); Sx*=Sx*(y) - статический момент отсеченной части сечения (расположенной выше или ниже уровня y) (рис. 6.10). Направление касательных напряжений τ в поперечном сечении балки соответствует направлению поперечной силы Q в этом сечении.

Для примера рассмотрим балку прямоугольного сечения со сторонами b и h (рис. 6.11,а). В соответствии с формулой (6.11) изменяется только статический момент отсечённой части сечения:

Для круглого сечения радиуса R, выполнив аналогичные преобразования, можно получить:

На рис. 6.11а,б приведены эпюры касательных напряжений τ для прямоугольного и круглого сечений. В обоих случаях напряжения распределяются по высоте сечения по закону квадратичной параболы, максимальные напряжения возникают в точках нейтральной линии.

Рис. 6.11

Некоторые особенности в распределении касательных напряжений имеют место для тонкостенных профилей. Эпюра τ для двутаврового сечения показана на рис. 6.11,в. Вследствие резкого уменьшения ширины сечения возрастает величина касательных напряжений в стенке профиля. Максимальные напряжения равны τ max = QS*x/Jxd, а величины Jx, S*x, d приводятся в соответствующих таблицах ГОСТ сортамента. Приведенная эпюра τ y является приближенной, т. к. не учитывает местного увеличения напряжений вблизи входящего угла сечения, где стенка соединяется с полкой.

Можно сопоставить наибольшие касательные и нормальные напряжения в балках, чтобы выяснить определяющие напряжения при поперечном изгибе балок. Например, для консольной балки прямоугольного сечения (рис. 6.12) эти напря-

жения равны:

для бруса l/h>10, можно сделать вывод, что для нетонкостенных балок максимальные нормальные напряжения значительно больше, чем касательные напряжения.

Следует отметить, что формула (6.11) позволяет вычислить напряжения не только в поперечных сечениях, но и в продольных (по закону парности касательных напряжений).

6.6. Расчет на прочность при изгибе

Для балок в большинстве практических случаев определяющими являются нормальные напряжения, а касательные напряжения играют второстепенную роль. Поэтому основным принимается условие проч-

ности по нормальным напряжениям, а условие прочности по касательным напряжениям является поверочным.

Для балок из пластичных материалов условия прочности имеют

Для балок несимметричного профиля, выполненных из хрупких материалов, вместо условий (6.12) необходимо составить два условия прочности:

При расчете балок постоянного сечения наибольшие нормальные напряжения возникают в сечении, где действует максимальный изгибающий момент M max. В этом случае условие прочности (6.12) можно записать в виде:

Условие (6.15) используется для подбора сечения балки при изгибе:

При необходимости после этого проводится проверка по условию прочности (6.13) при Q = Qmax.

Для балок переменного сечения (Wx≡Wx(z) условие прочности (6.15) следует записать в таком виде:

В некоторых случаях при расчете балок на прочность следует обращать особое внимание на касательные напряжения в поперечных и продольных сечениях балок. В частности, когда рассматриваются:

6.7. Перемещения в балках при изгибе

При расчёте конструкции вычисляются не только напряжения, но и перемещения. Причём методы определения перемещений играют важную роль как в общей оценке жёсткости конструкции, так и при решении многих прикладных задач (расчёт статически неопределимых систем, динамическое нагружение конструкций, колебания упругих систем и др.).

Дадим общие понятия о перемещениях в балках, рассматривая прямой изгиб балки. Для определённости принимается общая система координат Oyz (рис. 6.14), начало которой выбирается в центре площади какого-либо сечения, а ось z направлена по оси балки.

(При этом следует иметь в виду, что с каждым сечением связана местная система центральных осей, параллельных исходным.)

Для поперечных сечений

балок различают два вида перемещений:

1) прогиб v(z) - линейное перемещение сечения (центра площади сечения) в направлении, перпендикулярном оси балки;

2) угол поворота θ (z) - угловое перемещение сечения по отноше-

нию к первоначальному положению (поворот сечения относительно нейтральной линии).

tgθ = dv. В большинстве практических случаев перемещения в dz

балках относительно малы, так что можно считать tgθ ≈ θ . Поэтому дифференциальное соотношение между прогибом и углом поворота сечения получается в виде:

Рассмотрим некоторые методы определения перемещений.

6.7.1. Дифференциальное уравнение упругой линии балки

Ось изогнутой балки часто называют упругой линией. В случае прямого изгиба балки, учитывая соотношения (6.3), (6.6) и (6.17), для определения перемещений можно использовать систему дифференциальных уравнений в виде:

Уравнение (6.19) (или система уравнений (6.18) может применяться для определения как перемещений отдельных сечений, так и формы оси изогнутой балки. Последовательным интегрированием уравнений в системе (6.18) или уравнения (6.19) получаем:

где θ o, vo - постоянные интегрирования, имеющие смысл перемещений сечения балки в начале координат (z = 0). Для балки постоянной жесткости EJx = const интегрирование упрощается:

Постоянные θ o, vo определяются из граничных условий, число которых равно двум (порядку дифференциального уравнения). Граничные условия могут составляться для v и v′ = θ в зависимости от типа закрепления балки. Например, для шарнирно опертой балки (рис. 6.15,а) граничные условия имеют вид: v(0) = 0, v(l) = 0; для консоль-

ной балки (рис. 6.15,б): v(0) = 0, v′(0) = 0.

Рис. 6.15

Пример 6.1. Рассмотрим определение перемещений для консольной балки переменного сечения, нагруженной на свободном конце силой Р (рис. 6.16). Балка имеет постоянную толщину и переменную ширину сечения (h=const, b=var).

Выберем начало координат на свободном конце балки. Тогда:

M(z)=-P z; b(z)=boz/l,

где bo, l - ширина сечения в заделке и длина балки. Момент инерции произвольного сечения балки можно представить в таком виде:

ãäå Jo = boh3 .

12

Подставив полученые выражения в Рис. 6.16 дифференциальные уравнения (6.18) и выполнив интегрирование, получим такие

выражения:

Граничные условия имеют вид θ (l) = 0, v(l) = 0. Подставив их в полученные выражения, находим константы интегрирования: θ o = Pl2/EJo; vo=-Pl3/2EJo. Тогда для функции прогибов по длине балки и величины максимального прогиба (в сечении z = l) получим следующие выражения:

Аналогичным образом нетрудно получить максимальный прогиб для консольной балки постоянного сечения (bo×h): vmax=Pl3/3EJo.

6.7.2. Метод единичной нагрузки. Интеграл Мора

Общие методы определения перемещений в упругих системах основаны на использовании вариационных принципов механики.

Наиболее часто применяется принцип возможных перемещений

(принцип Лагранжа): если упругая система находится в равновесии, то сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях равна нулю. В математической форме это можно записать так:

где Pj - внешняя сила; δ j - возможное перемещение точки приложения силы Pj; U - возможная работа внутренних сил.

Под возможными понимаются такие перемещения, которые могут быть осуществлены для данной системы в соответствии с имеющимися опорами, не нарушая сплошности системы. Чем меньше перемещения, тем точнее соблюдается принцип Лагранжа. Учитывая

малость перемещений в реальных упругих системах, такие перемеще-

ния можно принимать в качестве возможных. Работа внешних и внутренних сил на возможных перемещениях называется возможной работой.

Пусть криволинейный брус испытывает плоскую деформацию под действием произвольной нагрузки, которую символически обозначим силой Р (рис. 6.17,а). Требуется определить перемещение се-

чения К в заданном i-ом направлении (δ (i)ê ).

Рассмотрим два состояния заданной системы. Исходное состояние системы при действии реальной нагрузки, в котором возникает искомое перемещение, называется действительным или грузовым состоянием. Вспомогательное состояние системы определяется действием соответствующей единичной нагрузки и называется еди-

ничным состоянием (рис.6.17,б). Термин «перемещение» понимается в обобщённом смысле: линейное или угловое перемещение. Вво-

димая единичная нагрузка должна соответствовать искомому перемещению: прикладывается в заданном сечении и в заданном направлении; прикладывается единичная сила (P = 1), если определяется линейное перемещение, или единичный момент (M = 1), если определяется угол поворота.

Рис. 6.17

В рассматриваемом методе принцип возможных перемещений записывается для единичного состояния. При действии единичной нагрузки в поперечных сечениях бруса возникают внутренние силовые факторы: нормальная сила N1, изгибающий момент M 1 и поперечная сила Q1. Возможные перемещения определяются дополнительным деформированным состоянием, которое накладывается на упругую систему, до того находившуюся в равновесии под действием приложенной нагрузки. В качестве возможных принимаются реальные перемещения бруса в грузовом состоянии, при котором в поперечных сечениях бруса возникают внутренние силовые факторы N, M , Q.

Для единичного состояния внешней силой является только P = 1, которая совершает работу на искомых перемещениях δ (Êi); поэтому

возможная работа внешних сил равна P δ (i)ê . При составлении работы внутренних сил рассматривается деформация элемента бруса длиной ds (см. рис. 6.17). Условно считая левое сечение неподвижным, правое сечение получит такие смещения: при растяжении (сжатии) - осе-

ком изгибе прямолинейного бруса обычно учитывается только второй интеграл:

Определение перемещений по методу единичной нагрузки проводится в следующем порядке.

1. Брус разбивается на участки в соответствии с действующей нагрузкой и характером изменения жесткости.

2.На каждом участке для грузового состояния составляются выражения для N, Q, M в произвольном сечении бруса.

3.Рассматривается единичное состояние бруса, определяемого действием соответствующей единичной нагрузки: в направлении искомого перемещения при определении линейного перемещения при-

кладывается сила P = 1, при определении углового перемещения момент M = 1.

4.На каждом участке бруса для единичного состояния составляются выражения для N1, M 1, Q1 в произвольном сечении бруса.

5.Вычисляется перемещение по формуле (6.24) (или (6.25),

(6.26).

Положительное значение показывает, что перемещение происходит по направлению приложенной единичной нагрузки, отрицательное - в направлении, противоположном приложенной единичной нагрузки.

6.7.3. Способ Верещагина

Использование формул (6.24) - (6.26) связано с необходимостью вычисления интегралов, иногда - путем численного интегрирования. Существуют различные способы, облегчающие вычисление этих ин-

тегралов. Один из них, графоаналитический способ А.К. Верещагина, применяется для прямолинейного бруса.

Рассмотрим прямолинейную балку постоянной жесткости (EJx=const), и формулу (6.26) представим в виде

Для прямолинейной балки выражение для изгибающего момента M 1 от единичной нагрузки является линейной функцией: