Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Сложное сопротивление.doc
Скачиваний:
155
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
1.59 Mб
Скачать

Министерство образования Российской Федерации

«МАТИ»-Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Кафедра «Механика материалов и конструкций»

Расчеты на прочность при сложном сопротивлении

Методические указания к выполнению курсовых работ по курсу «Сопротивление материалов»

Составители: С. П. Евстратова

Д.В. Васильев

В.В. Логвиненко

Москва

2001

Светлана Павловна Евстратова, к.т.н. доцент

Дмитрий Владимирович Васильев, к.т.н. доцент

Валерий Васильевич Логвиненко, к.т.н. доцент

Расчеты на прочность при сложном сопротивлении

Методические указания к выполнению лабораторной работы по курсу «Сопротивление материалов»

Оригинал-макет подготовлен:

Ероховым Николаем Сергеевичем

Редактор М.А.Соколова

Подписано в печать 29.05.01.

Обьем 2,75 п.л.

Тираж 75 экз. Заказ 265

109240, Москва, Берниковская наб., 14.

ИТЦ МАТИ-РГТУ

Введение

Под сложным сопротивлением подразумевают различные комбинации простейших деформаций бруса - растяжения или сжатия, сдвига, кручения и изгиба. При этом, на основании принципа независимости действия сил (ПНДС), напряжения и деформации в стержне при сложном сопротивлении определяют суммированием напряжений или деформаций, вызванных каждым внутренним силовым фактором в отдельности. Напомним, что этот принцип применим в тех случаях, когда имеют место только упругие деформации, а материал подчиняется закону Гука.

Рассмотрение вопросов, связанных с расчетом на прочность и жесткость элементов, работающих в условиях сложного сопротивления, начнем с частных случаев.

2. Косой изгиб

Изгиб, при котором внешние нагрузки действуют в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей инерции, называется косым изгибом (рис.2.1). Главной плоскостью инерции называется такая плоскость, которая включает в себя ось балки () и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения (или). Плоскость, в которой располагаются внешние нагрузки, называется силовой плоскостью.

2.1. Определение напряжений при косом изгибе

Рассмотрим консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой как показано на рис.2.2.

Рис. 2.1

Находим проекции силы на главные центральные оси инерциии(рис.2.2):

и .

Каждая из проекций располагается в одной из главных центральных плоскостей инерции и, таким образом, косой изгиб является сочетанием двух плоских поперечных изгибов и часто называется двойным.

Рис. 2.2

В произвольном сечении на расстоянии от точки приложения си­лы имеют место четыре внутренних силовых фактора:

поперечные силы: ,

;

и изгибающие моменты: ,

.

Определим напряжения, возникающие в произвольной точке рассматриваемого сечения (рис.2.2):

от изгибающего момента

,

от изгибающего момента

,

здесь и- координаты точки, в которой рассчитывают напряжения.

Знак напряжения зависит от характера деформации (растяжение-плюс, сжатие-минус). В нашем случае оба напряжения являются растягивающими и имеют знак плюс.

На основании ПНДС полное нормальное напряжение в точке равно их алгебраической сумме:

. (2.1)

При проведении расчетов на прочность условие прочности составля­ется для опасной точки поперечного сечения, т.е. для точки, в которой нормальные напряжения достигают максимальных значений. Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точка, наиболее удаленная от нейтральной линии, разделяющей растянутую и сжатую зоны сечения.

В связи с этим, большое значение приобретают вопросы, связанные с определением положения нейтральной линии.

2.2. Определение положения нейтральной линии при косом изгибе

Положение нейтральной линии можно определить с помощью формулы (2.1), если предположить, что точка с координатамилежит на нейтральной линии. В этом случае нормальное напряжение в точке равно нулю

,

или

. (2.2)

Уравнение нейтральной линии при косом изгибе (2.2) есть уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Положение нейтральной линии определяется тангенсом угла ее наклона (рис.2.3) к главной оси. С учетом (2.2) находим

,

, . (2.3)

Так как в общем случае и, следовательно,, то можно заключить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к линии действия внешней силы.

Из формулы (2.3) следует, что для сечений с (квадрат, круг, кольцо, правильный многоугольник), т.е. для сечений, у которых любые центральные оси являются главными, углыиравны, и нейтральная линия перпендикулярна линии действия внешней силы. Балки такого сечения не испытывают деформации косого изгиба.

Определение положения нейтральной линии позволяет выявить опасные точки сечения. Для этого следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания и будут являться опасными (точки ина рис.2.3).

Рис. 2.3

Для некоторых сечений (прямоугольник, двутавр, швеллер и т.п.) наиболее напряженные точки расположены в углах этих сечений, т.е. их можно найти без определения положения нейтральной линии (рис.2.4).

Рис. 2.4

Условия прочности составляют в зависимости от свойств того материала, из которого изготовлен элемент конструкции (брус).

Для хрупкого материала используют два условия прочности - для опасной точки, где имеет место растяжение (для нашего случая т. на рис.2.3), и для точки, где имеет место сжатие (т.)

(2.4)

Необходимость использования двух условий прочности для хрупкого материала объясняется разными механическими свойствами материала при растяжении и сжатии. Хрупкий материал плохо сопротивляется растяжению и хорошо - сжатию.

Для пластичного материала, который одинаково сопротивляется и растяжению и сжатию, используют одно условие прочности для точки поперечного сечения, где имеют место максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения

(2.5)

где и- координаты данной точки.

При расчетах на прочность касательными напряжениями от поперечных сил пренебрегают, т.к. их влияние незначительно.

2.3. Определение перемещений при косом изгибе

Перемещения при косом изгибе определяют по принципу независимости действия сил, т.е. рассчитывают прогибы ив направлении главных осей, а величину полного прогиба в любом сечении балки получают геометрическим суммированием:.

Например, для балки, изображенной на рис.2.2, прогиб конца консо­ли определится следующим образом:

,

,

.

Рис. 2.5

Направление полного перемещения () определится величиной отношения (рис.2.5)

. (2.6)

Сравнивая выражения (2.6) и (2.3), видим, что , т.е. направление полного прогиба при косом изгибе перпендикулярно нейтральной линии и не совпадает с направлением внешней силы (рис.2.5.).

Рассмотрим примеры расчета балок на косой изгиб.

ПРИМЕР 2.1. Подобрать прямоугольное сечение балки (рис.2.6) при условии, что ,=160 МПа,.=60 кН,=30, =2.8 м.

Рис. 2.6

Решение: Разложив силу на две составляющие, действующие по нап­равлению главных осей поперечного сечения балки, определяем опорные реакции и строим эпюры изгибающих моментови(рис.2.7). Наибольшие моменты действуют в среднем сечении, где

, ,

следовательно, это сечение является опасным.

Рис. 2.7

Для определения положения опасной точки расставим знаки от ив угловых точках поперечного сечения балки (рис.2.7).При действии моментав точкахибудут иметь место положительные (растя­гивающие) напряжения, а в точкахи- отрицательные (сжимающие) напряжения. При действии моментав точкахибудут иметь место положительные, а в точкахи- отрицательные. Точки поперечного сеченияи, в которых действуют нормальные напряжения одного знака, являются опасными; для них и должны составляться условия прочности.

Судя по условию задачи, материал, из которого изготовлена балка, является пластичным (=160 МПа) и, следовательно, одинаково сопротивляется деформации растяжения и деформации сжатия. Таким образом, точкииявляются равноопасными, и для них используется одно условие прочности (2.5)

.

Вычислим моменты сопротивления сечения при заданном соотношении высоты и ширины

, .

Подставляя в условие прочности выражения для изгибающих моментов и моментов сопротивления, получим:

,

тогда =18,04 см.

ПРИМЕР 2.2. При установке на опоры двутавровой балки (№ 60: =182см3, =2560см3),предназначенной для работы на изгиб в верти­кальной плоскости, совпадающей с плоскостью стенки, была допущена ошибка и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол = 1о. Определить связанное с этим увеличение наибольших нормальных напряжений.

Рис. 2.8

Решение: Отклонение оси двутавра (ось ) от вертикали привело к возникновению косого изгиба (рис.2.8) и появлению изгибающих моментови

,

.

Максимальные напряжения при косом изгибе

,

так как , то.

В случае правильной установки балки, сила совпадала бы с вертикальной осью балки, и имел бы место прямой изгиб, изгибающий момент был бы равен(см.рис.2.8), а напряжения

.

Таким образом, максимальные напряжения при косом изгибе за счет такого незначительного отклонения от вертикали возрастут на 24,6 %.

3. Внецентренное растяжение (сжатие)

Вид деформации, при котором точка приложения продольной силы не совпадает с центром тяжести сечения, называется внецентренным растяже­нием или сжатием (рис.3.1). Здесь ,- координаты точки приложения силыв системе главных центральных осей инерциии.

Рис. 3.1

3.1. Определение напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)

Для определения внутренних усилий, в поперечных сечениях бруса при внецентренном растяжении (сжатии) заменим заданную систему сил на статически эквивалентную систему других сил. На основании принципа Сен-Венана такая замена не вызовет изменений в условиях нагружения и деформации частей бруса, достаточно удаленных от места приложения сил.

Сначала перенесем точку приложения силы на осьи приложим в этой точке силу, равную силе, но противоположно направленную (рис.3.2). Чтобы оставить силуна оси, к ее действию необходимо добавить действие пары сил, отмеченных двумя чертами, или момент. Далее перенесем силув центр тяжести сечения и в этой точке приложим силу, равную силе, но противоположно направленную (рис.3.2). Чтобы оставить силув центре тяжести, к ее действию необходимо добавить еще одну пару сил, отмеченных крестиками, или момент.

Рис. 3.2

Таким образом, действие силы , приложенной к сечению внецентренно, эквивалентно совместному действию центрально приложенной силыи двух внешних сосредоточенных моментови.

Пользуясь методом сечений, нетрудно установить, что во всех попе­речных сечениях внецентренно растянутого (сжатого) бруса действуют следующие внутренние силовые факторы: продольная сила и два изги­бающих моментаи(рис.3.3).

Рис. 3.3

Напряжения в поперечных сечениях бруса определим, используя прин­цип независимости действия сил. От всех внутренних силовых факторов в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения. Знаки напряжений устанавливают по характеру деформаций: плюс - растяжение, минус - сжатие. Расставим знаки напряжений от каждого из внутренних силовых факторов в точках ,,,пересечения осейис контуром поперечного сечения (рис.3.3). От продольной силыво всех точках сеченияоди­наковы и положительны; от моментав точкенапряжения - плюс, в точке- минус, в точкахи, т.к. осьявляется в этом случае нейтральной линией; от моментав точкенапряжения - плюс, в точке- минус, в точкахи, т.к. осьв этом случае является нейтральной линией.

Полное напряжение в точке с координатамии, будет равно:

(3.1)

Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точка, наиболее удаленная от нейтральной линии. В связи с этим, большое значение приобретают вопросы, связанные с определением положения нейтральной линии.

3.2. Определение положения нейтральной линии

Положение нейтральной линии можно определить с помощью формулы (3.1), приравняв нормальные напряжения нулю

,

здесь и- координаты точки, лежащей на нейтральной линии.

Последнее выражение можно преобразовать, используя формулы для радиусов инерции: и. Тогда

,

или

. (3.2)

Из уравнения (3.2) видно, что нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) - это прямая, не проходящая через начало координат (центр тяжести поперечного сечения).

Проведем эту прямую через две точки, лежащие на координатных осях (рис. 3.4). Пусть точка 1 лежит на оси , тогда ее координатами будети, а точка 2 – на оси, тогда ее координатами будети(на основании уравнения (3.2)).

Если координаты точки приложения силы (полюса) положительны, то координаты точек 1 и 2 отрицательны, и наоборот. Таким образом, полюс и нейтральная линия располагаются по разные стороны от начала координат.

Определения положения нейтральной линии позволяет выявить опасные точки сечения, т.е. точки, в которых нормальные напряжения принимают наибольшие значения. Для этого следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания ибудут являться опасными (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Условия прочности для опасных точек составляют в зависимости от свойств того материала, из которого изготовлен брус. Так как хрупкий материал обладает различными свойствами в условиях растяжения и сжатия – плохо сопротивляется растяжению и хорошо сжатию, условия прочности составляют для двух точек: где действуют максимальные растягивающие (т. ) и максимальные сжимающие (т.) напряжения (рис. 3.4)

(3.3)

Для пластичного материала, который одинаково сопротивляется и растяжению и сжатию, составляют одно условие прочности для точки поперечного сечения, где имеют место максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения. В нашем случае такой точкой является точка, в которой действуют напряжения одного знака

. (3.4)

3.3 Понятие о ядре сечения

При построении нейтральной линии (рис. 3.4) определялись координаты точек 1 и 2, через которые она и проводилась

т. 1: ;,

(3.5)

т. 2: ;.

Координаты точек, лежащих на нейтральной линии, зависят от положения точки приложения силы (полюса) с координатами . Если координаты полюса уменьшаются, т.е. полюс приближается к центру тяжести сечения, тоувеличиваются, т.е. нейтральная линия может выйти за пределы сечения или касаться контура сечения. В этом случае в сечении будут иметь место напряжения одного знака.

Область приложения продольных сил, которые в этом случае вызывают в поперечном сечении напряжения одного знака, называется ядром сечения.

Вопрос определения ядра сечения является наиболее актуальным для элементов конструкций из хрупкого материала, работающих на внецентренное сжатие, с целью получения в поперечном сечении только сжимающих напряжений, т.к. хрупкий материал плохо сопротивляется деформации растяжения. Для этого необходимо задаться рядом положений нейтральной линии, проводя ее через граничные точки контура, и вычислить координаты соответствующих точек приложения силы, по формулам, вытекающим из (3.5).

Геометрическое место рассчитанных таким образом точек и определит контур ядра сечения. На рис. 3.6 показаны примеры ядра сечения для распространенных форм.

Рис. 3.5

Рассмотрим пример расчетов на внецентренное растяжение-сжатие.

Пример 3.1. Стальная полоса шириной =10 см и толщиной=1 см, центрально растянутая силами=70 кН, имеет прорезь шириной=3 см (рис. 3.6). Определить наибольшие нормальные напряжения в сечении, не учитывая концентрации напряжений. Какой ширинымогла бы быть прорезь при той же величине растягивающего усилия, если бы она была расположена посередине ширины полосы?

Рис. 3.6

Решение. При несимметричной прорези центр тяжести ослабленного сечения смещается от линии действия силы вправо и возникает внецентренное растяжение. Для определения положения центра тяжести () ослабленное сечение представим как большой прямоугольник размерами(фигураI) из которого удален малый прямоугольник с размерами (фигураII). За исходную ось примем ось .

.

В этом случае в поперечном сечении возникает два внутренних силовых фактора: продольная силаи изгибающий момент.

С целью определения опасной точки расставим знаки напряжений по боковым сторонам поперечного сечения (рис. 3.6). От продольной силы во всех точках сечения имеют место положительные (растягивающие) напряжения. От изгибающего момента слева от оси имеют место растягивающие напряжения (знак плюс), справа – сжимающие (знак минус).

Таким образом, максимальные нормальные напряжения возникают в т.

,

где - площадь ослабленного сечения, равная=7 см2;

- момент инерции ослабленного сечения относительно главной центральной оси

- расстояние от нейтральной линии () до наиболее удаленной точки (т.)

.

В результате максимальные нормальные напряжения будут равны

.

При симметричной прорези шириной возникает только растяжение

,

тогда

.

4. Совместное действие изгиба и кручения

На практике деформации кручения часто сопутствует изгиб. Например совместное действие изгиба с кручением приходится учитывать при расче­те валов машин, испытывающих воздействие окружных и радиальных усилий. Сочетание изгиба с кручением имеет место в пространственных рамах, коленчатых валах и других элементах конструкций.

В предыдущих разделах рассматривались такие частные случаи слож­ного сопротивления (косой изгиб, внецентренное растяжение или сжатие), при которых в поперечных сечениях бруса возникали только нормальные напряжения, и, следовательно, имело место одноосное напряженное состо­яние. Это позволило при выводе расчетных формул использовать сечения произвольной формы.

В случае изгиба с кручением от крутящего момента в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, которые рассчитываются по разному для круглых и прямоугольных брусьев. В следствие этого, рассматривать расчет сечений произвольной формы не представляется возможным.

4.1 Расчет брусьев круглого поперечного сечения

Пусть в поперечном сечении круглого бруса (рис. 4.1) действуют два изгибающих момента и, которые могут быть приведены к одному суммарному моменту, т.к. все центральные оси круга являются главными

. (4.1)

Максимального значения нормальные напряжения от достигают в т.(положительные), или в т.(отрицательные). Знаки напряжений устанавливают по характеру деформаций.

Кроме того, в поперечном сечении бруса имеет место крутящий момент () (рис. 4.1). Максимального значения касательные напряжения отдостигают в точках на контуре сечения. Следовательно, т.(или т.) является опасной, для которой и составляется условие прочности.

Рис. 4.1

В т. имеют место напряжения

(4.2)

причем осевой и полярныймоменты сопротивления для круглого сечения рассчитываются по формулам

(4.3)

Проанализируем напряжения в т. . С этой целью вырежем в окрестностях этой точки элементарный параллелепипед, передняя грань которого совпадает с поперечным сечением бруса (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Как видно из рис. 4.2, в данном случае имеет место плоское напряженное состояние и расчет на прочность должен вестись по одной из гипотез прочности. Для пластичных материалов применяют гипотезу наибольших касательных напряжений (III) или энергетическую гипотезу (IV).

Условие прочности по III гипотезе записывается в виде

. (4.4)

В рассматриваемом случае

,

или

, (4.5)

где - эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности.

Условие прочности по IV гипотезе прочности записывается в виде

. (4.6)

В рассматриваемом случае

,

или

, (4.7)

где - эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности.

Для хрупких материалов может быть использована гипотеза прочности Мора, которая для пластичных материалов приводится к третьей гипотезе, а для очень хрупких – к первой гипотезе

. (4.7)

Аналогичный расчет проводится и для кольцевого сечения.

Пример 4.1. Стальной вал круглого поперечного сечения передает мощность =14.7 кВт при угловой скорости=10.5 рад/с. Величина наибольшего изгибающего момента, действующего на вал=1.5 кНм. Исходя из условий прочности поIII и IV теориям прочности, определить необходимый диаметр вала, если =80 МПа.

Решение. Условие прочности при одновременном действии изгиба и кручения по III гипотезе прочности

.

Находим величину передаваемого валом крутящего момента

.

Эквивалентный момент по третьей гипотезе прочности равен

,

а диаметр вала

,

или =63.5 мм.

Условие прочности при одновременном действии изгиба и кручения по IV гипотезе прочности

.

Эквивалентный момент по четвертой гипотезе прочности равен

,

а диаметр вала

,

или =62.3 мм.

Таким образом, расчет по энергетической теории прочности дал более экономичный размер сечения, чем по критерию наибольших касательных напряжений.

4.3 Расчет брусьев прямоугольного сечения

Рассмотрим брус прямоугольного сечения, нагруженный таким образом, что в его поперечных сечениях действуют изгибающие моменты и, а также крутящий момент(рис. 4.3).

Рис. 4.3

Чтобы проверить прочность бруса, нужно в опасном сечении найти опасную точку, вычислить для нее эквивалентное напряжение (по одной из теорий прочности) и сопоставить его с допускаемым напряжением.

Для нахождения опасной точки сечения построим эпюры напряжений от всех силовых факторов (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Эпюры нормальных и касательных напряжений наглядно показывают, что, в отличие от круглого сечения, точки, в которых имеют место максимальные нормальные и максимальные касательные напряжения, не совпадают. В следствие этого, условие прочности составляют, как минимум для трех наиболее опасных точек поперечного сечения.

Опасной точкой по нормальным напряжениям является точка , в которойотиотположительны, или точка, в которойотиоттакже одного знака, но отрицательны. Касательные напряжения от крутящего момента в этих точках равны нулю. Таким образом, в этих точках имеет место линейное напряженное состояние.

Опасной точкой по касательным напряжениям является точка (или), лежащая в середине длинной стороны прямоугольника. Кроме того, в этой точке действуют максимальные нормальные напряжения от изгибающего момента.

Следует отметить, что в точке (или), расположенной в середине короткой стороны также действуют касательные напряжения (несколько меньшие) и максимальные нормальные напряжения от.

Таким образом, в точках поперечного сечения ,(,) имеет место плоское напряженное состояние, которое обуславливает использование гипотез прочности при расчетах на прочность. Для пластичных материалов применяютIII (наибольших касательных напряжений) и IV (энергетическую) гипотезы прочности.

Составим условия прочности для трех предположительно опасных точек поперечного сечения

т. :;.

т. :;,.

т. :;,.

Расчетная формула по четвертой гипотезе прочности

.

Для хрупких материалов может быть использована гипотеза прочности Мора, которая для пластичных материалов приводится к третьей гипотезе, а для очень хрупких – к первой гипотезе

. (4.7)

Пример 4.2. Коленчатый стальной стержень прямоугольного поперечного сечения защемлен одним концом и нагружен поперечной силой =0.9 кН на свободном конце. Определить в точкахизащемленного сечения расчетные напряжения по третьей теории прочности (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Решение: Построим эпюру моментов с целью определения величин внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении стержня в заделке (рис. 4.6).

Рис. 4.6

В результате действия силы в защемленном сечении будут действовать изгибающий и крутящий моменты.

Эквивалентные напряжения по третьей теории прочности рассчитываются по формуле

.

Для точки :,

,

здесь ,,.

Для точки :,

,

здесь ,,.

.

5. Общий случай сложного сопротивления

Приемы определения напряжений и деформаций, которые использовались при решении частных задач сложного сопротивления (косой изгиб, внецентренное растяжение-сжатие, изгиб с кручением) могут быть распространены на более сложные случаи нагружения, когда в поперечных сечениях бруса действуют все шесть силовых факторов.

В качестве примера рассмотрим расчет ломанного бруса, показанного на рис. 5.1.

Пример 5.1. Для заданного ломанного бруса (рис. 5.1), имеющего круглые поперечные сечения в пределах элементов длиной и, прямоугольное сечение в пределах элемента длиной, требуется выполнить следующие расчеты:

Рис. 5.1

1. Построить эпюры продольных усилий, изгибающих и крутящих моментов,

2. Определить допускаемые нагрузки и, исходя из заданных размеров прямоугольного сечения элемента бруса длиной,

3. Определить диаметры круглых сечений элементов бруса длиной и.

Примечания:

а) Построение эпюр внутренних силовых факторов производить, используя скользящую систему координат с постоянным направлением осей.

б) В расчетах на прочность использовать теорию максимальных касательных напряжений.

в) Прямоугольное сечение бруса длиной считать ориентированным так, что плоскость наибольшей жесткости совпадает с плоскостью действия максимального изгибающего момента.

Таблица исходных значений

, м

, м

, м

, см

, МПа

0.23

0.28

0.33

1.3

3

2.5

160

Решение.

1. Построение эпюр внутренних силовых факторов

Для определения величины и характера распределения внутренних силовых факторов по длине каждого участка ломаного бруса построим эпюры продольных сил , изгибающихи крутящихмоментов . Поперечными силамив расчетах, как правило, пренебрегают, так как их влияние незначительно. Для ломаного бруса, показанного на рис. 5.1, эпюры внутренних силовых факторов приведены на рис. 5.2.

Рис. 5.2

2. Определение допускаемой нагрузки и.

2.1 Определение опасного сечения элемента бруса длиной .

Анализ эпюр показывает, что наиболее опасным является сечение в заделке. В этом сечении действуют: максимальный изгибающий момент , изгибающий момент, постоянный по длине участка, крутящий момент, а также продольная сжимающая сила.

2.2 Определение опасных точек в опасном сечении элемента

Прямоугольное сечение элемента бруса длиной ориентируем так, чтобы плоскость наибольшей жесткости совпадала с плоскостью действия максимального изгибающего момента. Положение плоскости наибольшей жесткости определяется жесткостью поперечного сечения относительно главных центральных осейи, в частности, величиной максимального момента сопротивления. В данном случае (рис. 5.3)

, ,, т.к..

Максимальный изгибающий момент также действует относительно оси (). Следовательно, сечение должно быть расположено так, как показано на рис. 5.3.

Для определения положения опасных точек в опасном сечении построим эпюры распределения нормальных (от ) и касательных (от) напряжений (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Эпюры нормальных и касательных напряжений показывают, что наиболее опасными являются следующие три точки этого сечения:

 точка , где суммируются нормальные напряжения от, касательные напряжения равны нулю,

 точка , где суммируются нормальные напряжения от, а касательные напряжения отпринимают максимальные значения,

 точка , где суммируются нормальные напряжения от, а касательные напряжения равны.

2.3. Определение величин изгибающих и крутящих моментов в опасном сечении и моментов сопротивления.

Выразим через величину. Так как по условию задачи=1.3, то получаем.

Моменты в опасном сечении имеют следующие значения:

При заданном соотношении исм моменты сопротивления принимают следующие значения:

где при .

2.4 Определение допускаемой нагрузки

Расчет в точке . В точкеимеют место только нормальные напряжения, поэтому на основании принципа независимости действия сил

,

..

Расчет в точке . Для точкиимеем

,

.

Так как в точке имеют место нормальные и касательные напряжения, используем условие прочности по третьей гипотезе

.

.

Расчет в точке . Для точкиимеем

,

.

где ,,.

По III гипотезе прочности имеем

.

Из полученных результатов видно, что сосредоточенная сила должна быть меньше или равна 3.3 кН, т.е. точкаоказалась самой опасной из трех.

3. Определение диаметров круглых сечений элементов ломаного бруса при ,.

3.1. Определение диаметра круглого сечения элемента бруса длиной .

Опасным является сечение в конце участка, если двигаться от свободного конца бруса, где действует один силовой фактор – изгибающий момент . Условие прочности будет иметь вид

.

.

.

3.2. Определение диаметра круглого сечения элемента бруса длиной .

Анализ эпюр (рис. 5.2) на втором участке показывает, что опасным является сечение в конце участка, если двигаться со свободного конца бруса, где изгибающие моменты ипринимают максимальные значения, а крутящий момент, т.е. имеет место изгиб с кручением бруса круглого поперечного сечения (см. раздел 4.1). На рис. 5.4 два изгибающих момента приведены к одному суммарному и показаны опасные точки сечения и .

Рис. 5.4

Величины моментов

,

,

.

Условие прочности для круглого сечения согласно III теории прочности имеет вид

.

где .

,

.

.

3

42

4

41

5

40

6

39

7

38

8

37

9

36

10

35

11

34

12

33

13

32

14

31

15

30

16

29

17

28

18

27

19

26

20

25

21

24

22

23

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.