Терминология теории нечетких множеств

В традиционной прикладной математике множество понимается как совокупность элементов (объектов), обладающих некоторым общим свойством. Например, множество чисел, не меньших заданного числа, множество векторов, сумма компонент каждого из которых не превос­ходит единицы, и т.п. Для любого элемента при этом рассматриваются лишь две возможности: либо этот элемент принадлежит данному мно­жеству (т.е. обладает данным свойством), либо не принадлежит (т.е. не обладает данным свойством). Таким образом, в описании множе­ства в обычном смысле должен содержаться четкий критерий, позво­ляющий судить о принадлежности или непринадлежности любого эле­мента данному множеству.

Понятие нечеткого множества - попытка математической форма­лизации нечеткой информации с целью ее использования при построе­нии математических моделей сложных систем. В основе этого поня­тия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свой­ством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству с различной степенью. При таком подходе высказывания типа «элемент принадлежит данному множеству» теряют смысл, по­скольку необходимо указать «насколько сильно» или с какой степенью рассматриваемый элемент принадлежит данному множеству.

Один из простейших способов математического описания нечетко­го множества - характеризация степени принадлежности элемента множеству чисел, например, из интервала [0, 1]. Пусть X— некоторое множество элементов (в обычном смысле). Нечетким множеством С в X называется совокупность пар вида (х, μ_c(х)), где х X, а μ_c(х) - функция, называемая функцией принадлежности нечеткого множества С, данная функция принимает значения из интервала [0,1]. Функцией принадлежности называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального мно­жества к нечеткому множеству. Значение μ_c(х) этой функции для конк­ретного х называется степенью принадлежности этого элемента нечет­кому множеству С. Как видно из этого определения, нечеткое множе­ство полностью описывается своей функцией принадлежности.

Обычные множества составляют подкласс класса нечетких мно­жеств. Действительно, функцией принадлежности обычного множества В с Х является его характеристическая функция

В соответствии с определением нечеткого множества обычное мно­жество В можно также определить как совокупность пар вида (х, μ_B(х)) Таким образом, нечеткое множество представляет собой более широ­кое понятие, чем обычное множество, в том смысле, что функция при­надлежности нечеткого множества может быть, вообще говоря, произ­вольной функцией или даже произвольным отображением.

Задачи достижения нечетко определенной цели

Рассмотрим подход к решению задач выбора, в которых находит при­менение теория нечетких множеств. Основным предположением в дан­ном подходе является допущение о том, что цели принятия решений и множество альтернатив рассматриваются как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив. Это позволяет определить решение задачи в относительно простой форме.

Пусть Х - универсальное множество альтернатив, т.е. универсаль­ная совокупность всевозможных выборов лица, принимающего реше­ния. Нечеткой целью в X является нечеткое подмножество, которое будем обозначать G. Описывается нечеткая цель функцией принадлеж­ности μ_G: X → [0, 1]. Допустим, что X представляет собой числовую ось. Тогда нечеткой целью принятия решений может быть нечеткое множество типа «величина х должна быть примерно равна 5» или «желательно, чтобы величина х была значительно больше 10» и т.п. Бу­дем полагать, что присутствующие в подобных описаниях нечеткие понятия вполне точно описаны функциями принадлежности соответству­ющих нечетких множеств.

Чем больше степень принадлежности альтернативы x нечеткому множеству целей, т.е. чем больше значение μ_G(x), тем больше степень достижения этой цели при выборе альтернативы х в качестве решения.

Нечеткие ограничения или множества допустимых альтернатив также описываются нечеткими подмножествами множества X. В при­веденном примере, когда х элемент числовой оси, нечеткие ограниче­ния могут иметь, например, такой вид « х не должно быть много боль­ше 30», « х должно быть не слишком большим» и т.п. Как и прежде, здесь полагается, что приведенные в качестве примера понятия описаны фун­кциями принадлежности соответствующих нечетких множеств, которые будем обозначать μ_с(х).

Более общей является постановка задачи, в которой нечеткие цели и ограничения представляют собой подмножества различных множеств. Пусть, как и выше, X - множество альтернатив и пусть задано одно­значное отображение φ: X → Y, под элементами множества Y будем понимать оценки показателей качества или эффективности системы. Нечеткая цель при этом будет задаваться в виде нечеткого подмноже­ства множества оценок Y, т.е. в виде функции μ_G: Y → [0, 1].

Задача при этом сводится к прежней постановке, т.е. к случаю, ког­да цель - нечеткое подмножество X, с использованием следующего приема. Определим нечеткое множество альтернатив , обеспечива­ющих достижение заданной цели μ_G. Это множество представляет со­бой прообраз нечеткого множества μ_G при отображении φ, т.е.

После этого исходная задача рассматривается как задача дости­жения нечеткой цели при заданных нечетких ограничениях.

Перейдем теперь к определению решения задачи достижения не­четкой цели. Грубо говоря, решить задачу, означает достичь цели и удов­летворить ограничениям, причем в данной нечеткой постановке следу­ет говорить не просто о достижении цели, а о ее достижении с той или иной степенью, также следует учитывать и степень выполнения огра­ничений. В излагаемом подходе оба этих фактора учитываются следу­ющим образом. Пусть некоторая альтернатива x: обеспечивает дости­жение цели (или соответствует цели) со степенью μ_G(х)., и удовлетво­ряет ограничениям (или является доступной) со степенью μ_c(х). Тогда полагается, что степень принадлежности этой альтернативы решению задачи равна минимальному из этих чисел. Иными словами, альтерна­тива, допустимая со степенью, например 0,3, с той же степенью при­надлежит нечеткому решению, несмотря на то, что она обеспечивает достижение цели со степенью, равной, например, 0,8.

Таким образом, нечетким решением задачи достижения нечеткой цели называется пересечение нечетких множеств цели и ограничений, т.е. функция принадлежности решений μ_D(x) имеет вид

При наличии нескольких целей и нескольких ограничений нечеткое решение описывается функцией принадлежности:

Если различные цели и ограничения отличаются по важности и за­даны соответствующие коэффициенты относительной важности целей λ_i, и ограничений ν_i, то функция принадлежности решения задачи опре­деляется выражением

Один из наиболее распространенных в литературе способов реше­ния задач выбора при нечеткой исходной информации состоит в выборе альтернативы, имеющей максимальную степень принадлежности нечет­кому решению, т.е. альтернативы, реализующей правило

Следует подчеркнуть, что техника, развиваемая в работах Л. Заде и его последователей, основывается на использовании функций принад­лежности. Эти функции всегда являются гипотезами! Они дают субъек­тивное представление исследователя об особенностях анализируемой операции, о характере ограничений и целей исследования. Это всего лишь новая форма утверждения гипотез, которая открывает и новые возмож­ности.

В заключение данного параграфа следует отметить, что различие между нечеткостью и случайностью приводит к тому, что математи­ческие методы нечетких множеств совершенно не похожи на методы теории вероятностей. Они во многих отношениях проще вследствие того, что понятию вероятностной меры в теории вероятностей соответству­ет более простое понятие функции принадлежности в теории нечетких множеств. По этой причине даже в тех случаях, когда неопределенность в процессе принятия решений может быть представлена вероятност­ной моделью, обычно удобнее оперировать с ней методами теории не­четких множеств без привлечения аппарата теории вероятностей.

Получение во всех этих моделях решений в нечеткой форме позво­ляет довести до сведения специалиста, принимающего решение, что если он согласен или вынужден довольствоваться нечеткой формули­ровкой проблемы и нечеткими сведениями о модели, то он должен быть удовлетворен и нечетким решением задачи.