Принятие решений в условиях стохастической неопределенности

При решении вопросов системных исследований, таких как проек­тирование автоматизированных систем, организация их эксплуатации и ml возникает большое количество задач, в основе которых лежат ве­роятностные модели объектов или процессов, описывающих исследуе­мые явления. Примерами таких задач являются задачи оценивания параметров эффективности и надежности технических средств, прогнозирование поведения параметров системы, задачи, связанные с конт­ролем работоспособности и диагностикой неисправностей при функционировании систем и отдельных компонентов, задачи организации оптимального обслуживания технических средств, задачи обоснования срока службы отдельных элементов, узлов, подсистем. В большинстве случаев существуют естественные вероятностные модели, отражающие реальный ход процессов динамического поведения объектов. Эти модели строятся на основе математических, физических или техничес­ких закономерностей, отражающих функционирование отдельных объек­тов, воздействие объектов друг на друга. В ряде случаев для построе­ния вероятностной модели используется объективная информация о поведении объектов в процессе эксплуатации. По результатам обработки этой информации с помощью специальных методов математической статистики производят построение зависимостей. Например, существу­ющие методы проверки статистических гипотез позволяют обоснованно подойти к выбору закона распределения некоторой случайной величины на основании реализовавшихся значений.

И, наконец, существуют ситуации, когда построение вероятностной модели происходит субъективно, на основании интуиции и опыта сис­темного аналитика. При построении вероятностной модели на основа­нии субъективной информации необходимо тщательно анализировать комбинации состояний динамических объектов, возможность появле­ния критических ситуаций, степень вероятности ситуаций. Необходимо также привлекать информацию о сходных процессах, результатах при­ближенных расчетов.

Следует заметить, что при построении вероятностных моделей про­цессов предпочтение следует отдавать моделям, учитывающим объек­тивные данные. Субъективные оценки необходимо применять, когда отсутствуют возможности для получения объективных данных. Одна­ко в некоторых задачах учет субъективных вероятностей наряду с объективной информацией бывает весьма полезным. При формирова­нии субъективных вероятностей исследователь должен постараться выразить вероятности рассматриваемых событий через вероятности бо­лее простых явлений, которые либо являются заданными, либо подда­ются объективной оценке или вычислению.

Общей чертой всех подобных задач является необходимость вы­бора на основании косвенных или прямых, но обязательно «зашумленных» данных. Основным предположением для формализации решения задач такого типа является предположение о вероятностном характере экспериментальных данных.

Методологической основой для решения задач выбора в такой по­становке является теория оптимальных статистических решений. В основе данной теории лежит понятие статистической функции риска.

Рассмотрим постановку задачи. Будем считать заданным вероятностное распределение Р на множестве возможных исходов Y, причем значение Р(у) определено для каждого исхода у. Предположим, что системный аналитик, не зная результата развития системы, должен принять решение, последствия которого зависят от этого результата (исхода). Пусть X множество всех возможных решений, которые мож­ет принять исследователь. Положим, что в результате выбора реше­ния х и реализации исхода y исследователь получает доход r, принадле­жащий пространству всех возможных доходов R. Понятие «доход» обыч­но определяют через полезность, которая служит для численного вы­ражения предпочтений лица, принимающего решения.

Элементы множества R, которые названы доходами, могут быть весьма сложными объектами. Приведем примеры: множество билетов на различные концерты; множество возможных экономических состояний фирмы в определенный момент времени в будущем, измеряемых разностью ее денежных доходов в будущем и в настоящий момент; множество экономических состояний государства и т.д.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий понятие дохода в задачах системных исследований. Пусть решается задача выбора варианта реализации структуры сложной системы. Группа проектировщиков дол­жна принять решение о выборе одного варианта реализации системы управления из нескольких рассматриваемых. В качестве множества доходов, получаемых от реализации того или иного варианта, могут служить денежные доходы, получаемые в результате внедрения сис­темы выработки и принятия управляющих воздействий с использова­нием конкретного варианта структуры системы по сравнению с тради­ционным способом управления. Под доходом может также понимать­ся длительность обработки запросов пользователей; длительность об­работки результатов функционирования отдельных подразделений, на­пример цехов; точность и достоверность выводов, полученных в резуль­тате реализации управляющих воздействий и т.д. Совокупность всех этих составляющих образует вектор дохода конкретного варианта реа­лизации структуры системы.

Для любого множества R у системного аналитика будут предпоч­тения к тем или иным доходам. В некоторых ситуациях эти предпочте­ния очевидны. Например, в случае денежных доходов, чем больше доход, тем он предпочтительнее.

Сложнее сформулировать предпочтение в случае, когда доход - векторная величина. При сравнении двух векторных доходов, если каж­дая компонента первого вектора представляется более желательной, нежели соответствующая компонента второго вектора, то предпочтение отдается первому вектору. Если первый выгоднее только в отно­шении некоторых своих компонент, в то время как второй вектор предпочтительнее по другим компонентам, то какому из этих векторов от­дать предпочтение, не очевидно. Для окончательного решения вопроса следовало бы приписать соответствующие веса отдельным компонентам.

При сравнении двух доходов r₁ R и r₂ R пишут , если r₂ предпочтительнее r₁, и r₁ ≈ r₂, если r₁ эквивалентен r₂, т.е. имеет место одинаковая выгодность. Если r₁, не является более предпочтительным чем r₂, то пишут r₁ ≤ r₂.

Предполагается, что на основе своих предпочтений среди доходов системный аналитик может задать полное упорядочение множества R. Другими словами налагаются следующие условия.

1. Если r₁ и r₂ - произвольные доходы из множества R, то верно одно и только одно из следующих соотношений:

2. Если r₁, r₂ и r₃ - доходы из R, причем r₁ ≤ r₂ и r₂ ≤ r₃, то r₁ ≤ r₃. Наконец, будем предполагать, что не все доходы в R эквивалентны между собой, т.е. исключается тривиальная ситуация, а именно, пред­полагается, что s₀ t₀ хотя бы для одной пары s₀ R, t₀ R.

В большинстве задач аналитик не вполне свободен в выборе дохо­да. Обычно он может лишь выбрать из некоторого класса возможных распределений вероятностное распределение на R, согласно которому будет определен его доход.

Например, ставится вопрос о выборе определенного технологичес­кого процесса из двух или более возможных таких процессов. Хотя до­ходы и можно точно выразить через производительность и издержки, производственные характеристики различных процессов могут быть описаны лишь вероятностью.

Другой пример. Системный аналитик хочет получить информацию о значении некоторого параметра. Его доход - это количество инфор­мации об этом значении, получаемое после эксперимента. Пусть он выбирает эксперимент из некоторого класса доступных ему, но инфор­мация, которую он получит в каждом из экспериментов, носит случай­ный характер. В любой задаче такого рода аналитик производит выбор не непосредственно среди доходов из множества R, а среди вероятно­стных распределений на R.

Вероятностное распределение на множестве доходов задают в том случае, когда величина, определяющая доход, имеет характер непре­рывной случайной величины. Так, в задаче выбора определенного тех­нологического процесса из нескольких возможных вариантов для каждого процесса могут быть известны средние характеристики. Однако в реальной эксплуатации характеристики технологического процесса могут изменяться в широких пределах. На них оказывает влияние ряд факторов, таких как наличие ресурсов для стабильной работы предприятия, психологический климат в коллективе, состояние здоровья работ­ников, занятых в данном производстве и т.п. Таким образом, доход, получаемый от реализации конкретного варианта технологического про­цесса, будет величиной случайной, зависящей от большого количества факторов.

То же можно сказать и в случае решения задачи выбора варианта структуры системы управления. Допустим, что проектные документы гарантируют некоторые характеристики качества функционирования системы, такие как быстродействие системы, объем информации, передаваемой по каналам связи, объемы памяти и т.д. Но необходимо отдавать отчет в том, что эти характеристики являются средними. Они могут существенно меняться в зависимости от характеристик конкрет­ных технических средств, например, характеристик надежности. Так, частые отказы одной системы приводят к снижению характеристик качества, в то время как надежная работа другой системы позволяет поддерживать ее характеристики качества на достаточно высоком уров­не. В данном случае вектор дохода, получаемого от эксплуатации сис­темы, будет величиной случайной, зависящей от вероятности безотказ­ной работы технических средств (впрочем, как и от ряда других факторов).