Функции полезности

Таким образом, величина дохода, получаемого от реализации того или иного варианта решения, является случайной величиной, зависящей от различных факторов. В случае благоприятного стечения факторов можно получить максимальный доход от выбора определенной альтер­нативы. В случае неблагоприятного стечения факторов получают ми­нимальный доход. Естественно, что будет некоторое количество про­межуточных доходов, зависящих от вероятности реализации того или иного набора факторов.

Поскольку доходы могут иметь различное выражение (денежное вы­ражение дохода, быстродействие системы, объем памяти и т.п.) необ­ходимо обеспечить возможность их сравнения. Как было указано ранее нужно иметь систему предпочтений, систему весовых коэффици­ентов, с помощью которых можно было бы производить сравнение ва­риантов реализации различных альтернатив, когда они описываются векторными системами доходов. В качестве такой системы предпочтений выступает функция полезности. Для всякого распределения Рвсякой вещественной функции q на множестве R обозначим через Е(q/P) математическое ожидание функции q (если оно существует) относительно распределения Р. Другими словами

E(g/p) =

Вещественная функция g, заданная на множестве R, называется функцией полезности, а для любого дохода r R число g(r) называется полезностью r. Для всякого распределения Р число E(g/P) называ­ют полезностью Р или средней полезностью.

Определение функции потерь

Рассмотрим теперь пространство X всех возможных решений x, а R пространство всех возможных доходов r, которые может получить исследователь в результате решения х и исхода у. Доход из R , получа­емый исследователем при решении х и исходе у обозначим через σ(х,у). Будем считать заданным вероятностное распределение Р на пространстве исходов Y, причем значение Р(у) определено для каждого исхода у. Предположим также, что на множестве R задана функция полезности.

Для всякого вероятностного распределения Р, для которого функ­ция g интегрируема, среднюю полезность E(g/P_x) можно вычислить по формуле

E(g/P_x) =

Тогда задача исследователя будет состоять в выборе решения х, максимизирующего E(g/P_x).

В задачах принятия решения каждому доходу rR принято сопос­тавлять не полезность, а потери. Функция потерь определяется равен­ством

L(х, у) =-g(σ(x, у)).

При любом (х,у) число L(x,y) представляет собой ущерб исследо­вателя от принятия решения x, в случае, когда реализовался исход y. Пусть Р - вероятностное распределение исхода у. При всяком реше­нии х средний ущерб ρ(Р, х) называется риском и определяется по фор­муле

ρ(Р, х) =

В этом случае системный аналитик должен стремиться к выбору ре­шения х, минимизирующего риск р(Р, х). Таким образом, сформировано правило выбора решения в случае, когда на пространстве исходов задано распределение вероятностей.

Задачи решения с наблюдениями

Рассмотрим задачи решения, в которых исследователь перед тем выбрать решение из множества X, наблюдает значение случайной величины или случайного вектора z, связанного с исходом у. Наблюде­те z дает исследователю некоторую информацию о значении у, которая помогает ему принять рациональное решение. Будем полагать, что для всех у Y задано условное распределение z.

Поскольку решение исследователя зависит от наблюдаемого значения z, он должен выбрать решающую функцию δ, задающую для любого возможного значения z Z решение δ(z) X. В этом случае функция риска будет определяться равенством

Термин «риск» здесь как и ранее относится к среднему ущербу. Для каждого решения х X ρ(у, δ) обозначает риск от принятия решения х. Распределение h(y) называется априорным, так как оно задает распределение у до проведения наблюдения над z.