Свойства степени с натуральным показателем

Свойства степени с действительным показателем

1.

2.

3.

4.

5.

Пусть . Функция, заданная формулой называется показательной функцией с основанием .

Свойства:

1. Область определения функции:

.

2. Множество значений функции:

3. Периодичность:

Функция не является периодической.

4. Чётность/нечётность

Функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью : ,

Точки пересечения с осью , то график функции не пересекает ось .

6. Промежутки знакопостоянства функции:

при всех

7. Интервалы возрастания/убывания

Если , то функция возрастает на всей области определения

Если , то функция убывает на всей области определения

(без доказательства)

8. Наибольшее/наименьшее значение функции

Функция не имеет наименьшего и наибольшего значения (почему?).

9. Г рафик функции. (рис 27).

12. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, степени, частного. Зависимость между логарифмами числа по разным основаниям.

О. Логарифмом положительного числа , по основанию , где , называется показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Из определения следует формула ,(где ). Эту формулу называют основным логарифмическим тождеством.

Теорема 1 (логарифм произведения).

Пусть существуют числа и , т.е. и . Тогда существует число и выполняется равенство + = .

Доказательство.

Число - существует, так как , а неравенство следует из положительности чисел и .

Из основного логарифмического тождества и свойств показательной функции (вспомните эти свойства) вытекает, что .

Так как из равенства следует , получаем .

Теорема 2 (логарифм частного).

Пусть существуют числа и , т.е. и . Тогда существует число и выполняется равенство - = .

Доказательство.

- существует, так как , а неравенство следует из положительности чисел и .

Из основного логарифмического тождества и свойств показательной функции вытекает, что .

Так как из равенства следует , получаем .

Теорема 3 (логарифм степени).

Пусть существует число , т.е. и . Тогда для любого числа существует число и выплняется равенство .

Доказательство.

Так как , , т.е. - существует. Рассмотрим цепочку верных равенств .

Так как из равенства следует , получаем .

Теорема 3 (Формула перехода к новому основанию).

Пусть существует число , т.е. и . Тогда для любого числа , такого что существуют числа и , и выполняется равенство .

Доказательство.

Числа и существуют, так как .

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

откуда следует, что .